Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращается в нуль в этой точке: .
Пусть φ ′(x) ≠ 0 в окрестности точки x0
Если существует предел
, то
Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [x0;x], лежащего в окрестности точки x0, тогда
, где с лежит между x0 и х.
При x→x0 величина с также стремится к х0; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:
Так как , то .
Поэтому
(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)
Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.
Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 (кроме точки x0), в этой окрестности