Непрерывные функции и их свойства. Точка разрыва функций и их классификация

Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

Это означает:

- функция определена в точке х₀ и в ее окрестности;

- функция имеет предел при х→х₀

- предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х₀

Точки разрыва функции – это точки в которых нарушается непрерывность функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы)

и

При этом, если:

- А₁=А₂ то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

- А₁≠А₂ то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

|A₁ – A₂| называется скачком функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, либо равен бесконечности.