Кіріспе

Лекция №1

K.l. Модельдеу әдістерін жіктеу

Ғылымда, техникада және экономикада қолданылатын модельдерді екі топқа, яғни физикалық жэне математикалык модельдер тобына бөлуге болады.

Физикалық модельдер зерттеліп отырған процестерді оның физикалық мәнін сақтай отырып бейнелейді. Сондықтан физикалық модель ретінде, қарастырылып отырған объекттің зерттеуге маңызды қасиеттерін сақтайтын, нақтылы жүйелер қолданылады. Физикалық модель өзінің түпнұсқасынан көбінесе өлшемімен ғана ерекшеленеді. Осындай модельдердің бірнеше мысалын келтірейік.

Планетарийлерде орнатылған күн жүйесінің моделі жыл мезгілдерінің өзгеруін, күн мен айдың тұтылуы және тағы басқа астрономиялық құбылыстарды бейнелейді. Белгілі бір өнімді шығаратын шағын зертханалық қондырғы осы өнімді өндіретін өнеркәсіптің моделі ретінде қарастырыла алынады.

Осы мысалдардан физикалық модельдер нақтылы және арнайы болатыны, айқын және сенімді нәтиже беретіні көрініп тұр. Дегенмен, физикалық модельдер эксперименттеуге икемсіздеу келеді, оларды жасау көбінесе қымбатқа түседі. Сондықтан бұл модельдерді қолданатын жағдай жиі кездеспейді.

Оған қарағанда математикалық модельдердің қолдану өрісі кеңірек. Алдымен математикалық модельдеу не деген сұраққа мына анықтамадан жауап алайық.

К.1-анықтама. Математикалық моделъдеу деп, берілген процестерді зерттеу үшін физикалық тәні әртүрлі болса да, ұқсас математикалық өрнектермен бейнеленетін құбылыстарды қарастыру әдісі аталады.

Мысалы, сызықтық теңдеулер, немесе теңсіздіктер жүйелері кәсіпорынның, әлде транспорт мекемесінің жұмысын жоспарлайтын модель ретінде қарастырыла алынады. Өзінің универсальдылығымен қолдануға біршама жеңілділігі арқасында математикалық модельдеу әртүрлі зерттеулерде көп қолданылады.

Дегенмен, соңғы жылдары өнеркәсіп басқару саласында өте күрделі мәселелер пайда болуына қарасты, математиканың классикалық сұлбаларына негізделген модельдер көбінесе дұрыс нәтиже бере алмай жүр. Бүл дағдарыстың мына себептерін келтіруге болады. Қазіргі заманда ғалымдар мен инженерлердің зерттейтін жүйелері күрделі ғана емес, сонымен қатар бірімен бірі тығыз байланысъш жатқан көптеген объекттерден тұратыны мәлім. Ал осындай жүйелердің елеулі ерекшеліктері бар. Олар мыналар:

-жүйелерді кұрайтын объекттердің қарым - қатынастары өте

шиеленісті болуы;

-қойылған мәселелердің дұрыс шешімін табу үшін әртүрлі кездейсоқ ауытқулардың әсерлерін ескеру керектігі;

-осы жүйелерде өтетін процестердің динамикалық қасиеттерінің маңыздылығы.

Осы аталған себептер математикалық моделъдеудің жаңа бір
бағытының пайда болуына әкелді. Бұл бағыт - имитациялық
модельдеу.

К.2-анықтама. Имитациялық модельдеу деп әртүрлі объекттер мен жүйелердегі процестерді, олардың ықтималдылық қасиеттерін ескере отырып, компьютердің көмегімен бейнелейтін және керекті көрсеткіштерін анықтайтын әдісті атайды.

Сонымен, имитациялық модельдеу - күрделі және бірімен бірі тығыз байланысты бірнеше объекттерден тұратын жүйелерді зерттеуге бейімделген әдіс.

Қазіргі кезде осы әдіс көп салаларда әртүрлі ғылыми және қолданбалы зерттеулерде пайдаланылып жүр. Солардьщ ішінде мына салаларды атауға болады:

- кәсіпорындардың жұмыс барысының бағдарламасын жасау;

- автоматты телефон станцияларының қызмет көрсету жүйелерін жобалау;

- көше жүрісін реттеу;

- қойма қорын реттеу;

- қару-жарактың қолдану сапасын бағалау;

- көпшілікке қызмет көрсету жүйелерін жобалау және тағы

басқалар.

К.2. Имитациялық модельдеудің мағынасы мен мүмкіншілігі

Имитациялық модельдеуге тағы бір анықтама келтірейік - бүл әртүрлі күрделі жүйелердің математикалық модельдерімен компьютерді пайдалану арқылы эксперимент жүргізуге бейімделген
сандық әдіс [1].

Бұл әдісті қолданудың негізі ретінде компьютер арқылы іске асырылатын арнайы модельдеуші алгоритм пайдаланылады. Осы алгоритм, қарастырылып отырған күрделі жүйенің элементтерінің күйін, олардьщ бір-бірімен байланыстарын және әртүрлі кездейсоқ ауытқулардың әсерін ескере отырып, модельдеуге тиіс. Ал осы әртүрлі ауытқу факторларын бейнелеу үшін кездейсоқ сандар қолданылады.

Осы кездейсоқ сандардың көмегімен неше түрлі ықтималдық заңдылықтарына бағынышты кездейсоқ шамалар, кездейсоқ процестер немесе кездейсоқ ағьндарды компыотермен модельдеуге болады.

Айта кететін тағы бір жәй, осы модельдеуші алгоритм, зерттеліп отырған жүйелерде өтіп жатқан процестерді сипаттаған кезде, олардың әрбір қарапайым қадамын оның логикалық сұлбасына және уақыт тізбегіне сәйкес бейнелеуі қажет.

Соныменен, модельдеуші алгоритм, алғашқы берілген деректерді пайдаланьш зерттеліп отырған процестердің, уақыттың әртүрлі мезгілдеріндегі, жағдайын болжауға мүмкіншілік береді.

Осы келтірілген мәліметгерден имитациялық модельдеудің күрделі жүйелерді зерттеуге бейімделгенін және басқа модельдеу әдістеріне қарағанда біраз артықшылықтары бар екенін байқауға болады.

Имитациялық модельдеудің негізгі артықшылықтарының бірі, онымен зерттелетін күрделі жүйелер әр тәнді элементтерден тұра алатындығы. Мысалы, олардың бірі үздіксіз әрекетті болса, екіншісі дискретті бола алады. Екіншіден. бұл элементтер көптеген күрделі мәнді ауытқулардың әсеріне ұшырауы, немесе оларда өтіп жатқан процестер өте күрделі және шиеленіскен өрнектермен бейнеленуі де мүмкін. Мұндай модельдеу ешқандай арнайы құралдар мен қондырғылар жасауды да қажет етпейді. Сонымен қатар, имитациялық модельдеу кезінде зерттеліп отырған жүйелердің бастапқы шарттары мен әртүрлі параметрлерінің мәндерін оңай өзгертуге болады.

Имитациялық модельдеу басқару жүйелерін автоматтандыру барысында да өте кең қолданылатынын атап өтпеуге болмайды. Осындай модельдеудің арқасында қаралып отырған процестердің басқаруға ыңғайлы параметрлері мен айнымаларының мәндерін, немесе нұсқау ақпараттары ағынының ең тиімді бағыттарын анықтап, осы деректерді оптимальды басқару алгоритмдерін жасауға қолдануға болады.

Имитациялық модельдеу арқылы әртүрлі басқару принциптерін бағалауға да, бірнеше басқару жүйелерінің ішінен ең тиімдісін таңдауға да, осы жүйелердің болашақтағы жұмыс істеу қабілетін

болжауға да болады.

Атап өтілген артықшылықтарымен қатар имитациялық модельдеудің, басқа да сандық әдістерге тән, елеулі кемшілігі де бар. Ол осы әдіспен алынған нәтижелердің бастапқы берілген шарттар мен параметрлердің мәніне тікелей байланыстылығы, яғни әр алынған нәтиже зерттеліп отырған процестердіц алдын-ала белгіленген бір ғана күйіне сәйкес келетіндігі.

Алайда, осы елеулі кемшілігіне қарамастан, имитациялық модельдеу қазіргі кезде күрделі жүйелерді зерттейтін ең нәтижелі әдіс екені мәлім. Ал біраз жаңа жүйелерді жобалау кезінде имитациялық модельдеуден басқа ешқандай тәсіл осы жүйелердің болашақ уақытгағы жәй-күйін болжай алмайды.

К.З. Имитациялық модельдеудің қарапайым мысалы

Имитациялық модельдеудің негізін дұрыс түсіну үшін мына қарапайым мысалды талқылайық. Көшенің бұрышында аяқ киім тазалаушы жұмыс істеп отырсын. Оның бір сағат ішінде, мысалы 9.00 дан 10.00-ға дейінгі, жұмысын имитациялық модельдеу арқылы бейнелейік. Осы тазалаушыға аяқ киімін тазартпақ ниеті бар адамдар келетін уақыт мезгілдерінің аралығын бірқалыпты үлестірімді кездейсоқ шама деп есептейік және осы аралық ретінде нольден он минутқа дейінгі уақыт мөлшерін тағайындайық. Яғни болсын.

Тазалаушының әрбір клиентке кызмет көрсету уақытын да кездейсоқ шама деп есептеп, оның шекті мәндерін бір мен алты минутка теңейік -

Имитациялық модельдеудің нәтижесі ретінде клиенттердің аяқ киімін тазартуға жұмсаған уақытының орта шамасын (күту мен тазарту уақыттарын қоса) және тазалаушының бос отыратын уақыт мелшерін қарастырайық.

Енді осы жүйенің жұмысын модельдеуге кірісейік. Ол үшін, клиенттердің келу мезгілдерінің тізбегін модельдеу әдісін таңдау керек. Әзірше, осы мезгілдерді бейнелеу үшін бірінші класс оқушысының оқу құралдары ішіндегі 1 мен 10 дейінгі сандар жазылған кішкентай тақташаларды алайық. Егер оларды қораптың ішінен таңдамай бір-бірден алып отырса, сол тақташаларда жазылған сандарды клиенттердің аралығын бейнелейтін уақыт деп есептеуге болады. Ал әрбір оқушы баланың қалтасынан табылатын кубикті жерге лақтырып, жоғарғы бетінде жазылған санды қарасақ бірден алтыға дейінгі цифрдің кездейсоқ бір мәнін көреміз. Осы цифр тазалаушыньщ кезектегі клиентіне жұмсаған уақытын бейнелесін. Осы екі операцияны бірнеше рет қайталап, клиенттердің келетін мезгілінің аралығын және сол кісілерге жұмсалған уақыт мөлшерін сипаттайтын екі уақыт тізбегін анықтауға болады.

К.1-кестеде осы жүйенің бір сағат ішіндегі жұмыс барысын имитациялық модельдеу нәтижесі келтірілген. Осы деректерден бір клиенттің аяқ киімін тазалауға жұмсайтын уақытының орташа мөлшері

тең екені, ал тазалаушыяьщ бос отырған мерзімі бүкіл жұмыс мерзімінің 27%-ын алатыны көрініп тұр.

Клиенттер	Клиенттердің аралығының мөлшері	Тазалауға жұмсалған уақыт мөлшері	Клиенттің келген мезгілі	Клиентке қызмет көрсете бастау мезгілі	Клиенттің кезекті күту уақыты	Клиентке қызмет көрсетіп болған уақыт	Тазалаушының бос отырған уақыты
			9.00 9.08 9.09 9.15 9.18 9.27 9.35 9.37 9.38 9.45 9.48 9.54	9.00 9.08 9.11 9.17 9.21 9.27 9.35 9.38 9.43 9.45 9.49 9.54		9.02 9.11 9.17 9.21 9.27 9.28 9.38 9.43 9.45 9.49 9.51 10.00
Барлығы

Осы қарапайым мысалдың өзінен әртүрлі кездейсоқ заңдылыктардың имитациялық модельдеуде орыны ерекше зор екені айқындальш отыр. Сондықтан осы оқулықтың бірінші бөлімі әртүрлі кездейсоқ заңдылықтарды компьютермен модельдеу әдістерімен танысуға арналады.

1 - БӨЛІМ. КЕЗДЕЙСОҚ ЗАҢДЫЛЫҚТАРДЫ МОДЕЛЬДЕУ

I - ТАРАУ. ЖАЛҒАН КЕЗДЕЙСОҚ САНДАРДЫ МОДЕЛЬДЕУ

1.1. Жалған кездейсоқ сандар және оларды модельдеу принципі

Күрделі жүйелерді имитациялық модельдеу әдісімен зерттегенде,
кездейсоқ окиғалар, кездейсоқ шамалар және басқа әртүрлі
кездейсоқ процестер кең қолданылады. Осы кездейсоқ заңдылықтарды компыотермен имитациялаудың әдістері [0;1] кесінді аралығында бірқалыпты үлестірім заңдылығы бар кездейсоқ сандардың тізбегін модельдеуге және осы тізбекті функционалдық турлендіруге негізделген. Бастапқы, немесе базалық кездейсоқ сандардың тізбегі ретінде, [0;1] кесінді аралығында бірқалыпты үлестірілген, ζ кездейсоқ шамасының (_Zj) нақтыламаларының тізбегін таңдап алу, келесі екі факторға негізделеді:

1). Бірқалыпты үлестірімді кездейсоқ сандарды модельдеу проблемасы ғалымдардың, компьютер дамуының алғашқы күндерінен бастап, назарын аударды да, олар кездейсоқ сандарды имитациялаудың көптеген тиімді әдістерін жасады.

2). Бірқалыпты үлестірім кездейсоқ заңдылықтардың ең қарапайымы болғандықтан оны оңай математикалық түрлендіруге болады.

Кездейсоқ £, шамасы [а,ь] аралығында бірқалыпты үлестірім заңына бағынады деп есептеу үшін, оның үлестірім тығыздық функциясы [а,ь] аралығында түрақты оң мөлшерге, ал одан тысқары жерде нөлге тең үздіксіз функциямен сипатталуы керек:

Сонда £, кездейсоқ шамасының тағы бір сипаттамасы болатын үлестірім функциясының түрі төмендегідей болады:

Математикалық үміті, дисперсиясы және орта шаршы ауытқуы сәйкесінше, мынаған тең:

£ шамасы [0;1] аралығында бірқалыпты үлестірімді жекеленген жағдайда, жоғарыда келтірілген сипаттамалар мынадай болады:

[0;1] аралығында бірқалыпты үлестірімді £ шамасының әртүрлі кездейсоқ заңдылықтарды модельдеудегі маңызды ролін ескере отырьш, оны компыотермен имитациялау әдістерінің бірнешеуін қарастырайық. Бүл әдістердің барлығы рекуррентті қатынастарға негізделген және тек қана жалған кездейсоқ сандарды тудырады.

Анықтама. Жалган кездейсоқ сандар деп, кездейсоқ шаманың математикалық өрнектерінің көмегімен, дәлірек айтқанда рекурренттік қатынастар арқылы алынған z наңтыламаларын айтады.

Жалған кездейсоқ сандардың ықтималдық қасиеттерінің нағыз кездейсоқ сандардың қасиеттерінен айырмашылығы болатыны айқын. Сондықтан, бұл сандарды модельдеу әдістерін жасағанда оларға қатаң талаптар койылады. Жақсы әдістердің көмегімен алынған кездейсоқ сандар тізбегі бірқалыпты үлестірімді, статистикалық тәуелсіз және қайталанбайтын сандардан тұруы тиіс. Сонымен қатар, бұл әдістер тез жұмыс істеуі және компьютер зердесінің аз көлемін пайдалануы керек. Көрсетілген талаптар орындалған жағдайда ғана жалған кездейсоқ сандардың нағыз кездейсоқ сандардан ерекшелігін ескермеуге болады.

Жалған кездейсоқ сандарды моделдеудің іс жүзінде қодданылатьш әдістерінің көбі, 1-ретті рекурренттік қатынастарға негізделген мына формуламен байланысты:

Мүндағы - берілген шама. Бірақ бұл формулаға біраз талаптар қойылады. Шынымен, (1.1) рекурренттік катынасы арқылы есептелген {z, Ф(z)} координатты нүктелер (1,1. сур.) тіктөртбұрыш жазықтығында бірқалыпты жатпай, тек қана Ф(z) қисығының үстіне орналасады. Сондықтан, кез-келген функцияны (1.1) формуласына қоя салып, жақсы нәтижеге жете алмаймыз. Демек, жалған кездейсоқ сандарының "жақсы" тізбегін, графигі шаршы жазықтығын тығыз толтыратын функция ғана тудыра алады. Мысал ретінде мына функцияны келтіруге болады. (1.2. сурет):

Мұндағы D – бөлшектің ажыратылу операциясы, ал g үлкен can [2]. Көрсетілген шарт "жақсы" жалған кездейсоқ сандар тізбегін тудыру үшін (1.1) формула қажетті, бірақ жеткіліксіз. Шынында, алғашқы кезде Ф(г) функциясының түрі күрделі және қиын түсіндірілетіндей етіп тандалған, мысалы:

Мүндағы Ц - бүтін бөлігін табу операциясы.

Бірақ (1.1) формуласындағы функцияның түрін таңдаудың нақтылы теориясы болмағандықтан бұл формула көбінесе қолайсыз кездейсоқ сандардың тізбегін туғызып жүрді. Мысалы, мұндай функцияның көмегімен алынған кезекті caн, ойламаған жерден, кейде нольге тең болуы мүмкін. Ал, бұлай болған жағдайда, келесі сандардың бәрі де нольге теңесетіні ақиқат. Осы принциппен туғызылған тізбектердің қайталану периоды да көбінесе кішігірім санмен сипатталатын еді. Сондыктан жиырмасьншы ғасырдың қырқыншы жылдарының аяғынан бастап ғалымдар Ф(z) функциясының түрін таңдауда сандар теориясы аппаратын қолдана бастады. Бұл аппарат жалған кездейсоқ тізбектерінің қайталану периодының ұзындығын алдын-ала білу мүмкіндігін берді және жаңаша алынған кездейсоқ сандардың қажетті сапаға ие болуын қамтамасыз етті.

Жалған кездейсоқ сандарды модельдеудің кең таралған белгілі бірнеше әдістерін карастырайық. Және алдағы уақытта "жалған кездейсоқ сандар" деудің орнына "кездейсоқ сандар" терминін қолданамыз, себебі, төменде келтірілетін қолданбалы алгоритмдер жеткілікті статистикалық қасиеттері бар тізбектерді модельдейді.