2015-09-07
903
Пусть имеется парная игра, в которой участвуют два игрока A и B с противоположными интересами. Тогда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, сумма выигрышей равна нулю, отсюда и название такой игры – игра с нулевой суммой. Будем условно считать, что игрок A – выигрывает, а B – проигрывает.
Такую игру можно описать с помощью, так называемой, платежной матрицы. Пусть A 1, A 2, …, Am стратегии игрока A, а B 1, B 2,…, Bn стратегии игрока B. Стратегии Ai, 
и Bj 
будем называть чистыми стратегиями игроков A и B.
Платежная функция задается в виде матрицы. Пусть игрок A выбрал стратегию Ai, а B – Bj, тогда этот выбор однозначно определяет исход игры – выигрыш (положительный или отрицательный), обозначим его Cij, 
. Значения Cij определяют платежную матрицу 
, которую будем задавать в виде следующей таблицы.
| Bj Ai | B 1 | B 2 | … | Bj | … | Bn |
| A 1 | C 11 | C 12 | … | C 1 j | … | C 1 n |
| A 2 | C 21 | C 22 | … | C 2 j | … | C 2 n |
| … | … | … | … | … | … | … |
| Ai | Ci 1 | Ci 2 | … | Cij | … | Cin |
| … | … | … | … | … | … | … |
| Am | Cm 1 | Cm 2 | … | Cmj | … | Cmn |
Это матрица называется также матрицей игры.
Строки матрицы соответствуют чистым стратегиям игрока A, а столбцы – чистым стратегиям игрока B. Элемент матрицы Cij определяет результат игры (выигрыш игрока A) при выборе игроками A и B стратегий Ai и Bj соответственно, .
Как происходит одноходовая игра? Игрок A выбирает одну из стратегий, например, Ai; это соответствует i -ой строке платежной матрицы. Игрок B, не зная результата выбора игрока A, выбирает некоторую стратегию Bj, что соответствует j -ому столбцу этой матрицы.
Элемент Cij определяет величину выигрыша игрока A и проигрыша игрока B. Если значения Cij < 0, то это означает, что фактически игрок A проиграл, а игрок B выиграл.
Игрок A стремится максимизировать свой выигрыш, а игрок B стремится минимизировать свой проигрыш. Поэтому их называют максимизирующим и минимизирующим игроками.
Вывод: таким образом, игрой называется модель конфликтной ситуации, в которой определены набор стратегий каждого ее участника и платежная матрица. В любой игре требуется определить оптимальные стратегии ее участников, считая, что каждый из них действует наилучшим для себя образом.
Таким образом, основной вопрос теории игр состоит в том, как наиболее рационально должны поступать в конфликтной ситуации игроки A и B и каков будет средний результат игры, если каждый игрок считает своего противника столь же умным, как он сам, и не рассчитывает на его промахи. Это предположение называется принципом разумности противника.
