Рассмотрим пример экономической задачи

Предприятие может выпустить три вида продукции: A ₁, A ₂, A ₃, получая при этом прибыль, зависящую от спроса. Спрос может быть в одном из четырех состояний: B ₁, B ₂, B ₃, B ₄. Дана матрица

C = (C_ij)_3∙4, ее элементы C_ij характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i- го вида продукции с j -м состоянием спроса. Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.

Bj Ai	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1
A 2
A 3

С =>

Решение. Задача сводится к игре, в которой предприятие – это игрок A, спрос – игрок B; C – платежная матрица. У игрока A три стратегии; стратегия A_i –выпускать продукцию вида ; у игрока B четыре стратегии: стратегия B_j – спрос на продукцию вида .

Проведем анализ матрицы C, исключив стратегии заведомо невыгодные игрокам.

Стратегия B ₂ (2-й столбец матрицы) является явно невыгодной для игрока B по сравнению с первой стратегией B ₁, (элементы столбца 2 либо больше, либо равны элементам 1-го столбца), так как цель игрока B уменьшить выигрыш игрока A. Поэтому 2-й столбец исключаем и получаем следующую таблицу, в которой найдем нижнюю α и верхнюю β – цены игры.

Bj Ai	B 1	B 3	B 4
A 1				α1 = 3
A 2				α2 = 2
A 3				α3 = 4
	β 1 = 9	β 2 = 6	β 3 = 8	α=4 β=6

α = 4

β = 6

α ≠ β – седловой точки нет.

Решение игры будем искать в смешанных стратегиях.

Стратегия игрока A:

Стратегия игрока B:

Все значения C_ij > 0, поэтому записываем пару двойственных задач, эквивалентных игре.

Задача A. Задача B.

Решим задачу B симплекс-методом, приведем к стандартному виду.

Проведем решение в симплекс-таблицах.

Cj							bi
Ci
			5						1/6 min 1/4 1/5
F	-1	-1	-1
		3/6 7 27/6		8/6 -20/6 -16/6	1/6 -4/6 -5/6			1/6 2/6 1/6	1/6:3/6=1/3 2/6:7=2/42 1/6:27/6=1/27min
F	-3/6		2/6	1/6			1/6
				44/27 22/27 -16/27	7/27 17/27 -5/27		-3/27 -42/27 6/27	4/27 2/27 1/27
F			1/27	2/27	0	3/27	5/27

F _max

Оптимальное решение задачи B: и

A:

Или = 1/27; = 4/27; = 0; F _max =5/27

= 2/27; = 0; = 3/27.

Цена игры v = .

Найдем значения x_i и y_j по формулам:

Оптимальные смешанные стратегии игроков записываем с учетом того, что стратегию B ₂ – столбец B ₂ в исходной матрице C мы исключили, что означает, что состояние спроса B ₂ из рассмотрения исключается и соответствующая частота будет равна нулю.

Цена игры v = 5,4.

Ответ: предприятие должно выпустить 40% продукции A ₁

и 60% – вида A ₃, продукцию вида A ₂ выпускать не следует. При этом спрос в 20% будет находиться в состоянии B ₁ и в 80% в состоянии B ₃. Максимальная прибыль предприятия 5,4.