Пифагорова гамма

В основу музыкальной шкалы — гаммы — пифагорейцы положили интервал октавы. Октава настолько созвучный консонанс, что верхний звук кажется уменьшенной копией нижнего, поэтому его и принято называть октавным повторением нижнего тона и обозначать той же нотой. Далее октаву предстояло разделить на какие-то благозвучные части. И здесь пифагорейцы, страстные поклонники пропорций (вспомним слова Платона на с. 138), прежде всего, конечно, обратились к средним величинам.

Составляя арифметическое среднее для основного тона и его октавного повторения :

мы обнаруживаем прекрасный результат: это арифметическое среднее дает следующий совершенный консонанс — квинту. При этом длина струны согласно (3.1.2) и (1.4.6) будет средней гармонической длин струн и :

Но если теперь среднее гармоническое взять для частот основного тона и октавы :

то оно даст последний совершенный консонанс — кварту. Ясно, что длины струн будут при этом связаны арифметической средней:

Итак, квинта есть среднее арифметическое частот основного тона и октавы , а кварта — среднее гармоническое и . Или квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона и октавы , а кварта — среднее арифметическое и .

Но произведение среднего арифметического на среднее гармоническое равно произведению исходных величин:

откуда, разделив обе части на , получим второй важный вывод:

или

т. е. октава делится на два неравных консонансных интервала — квинту и кварту или интервальный коэффициент октавы равен произведению интервальных коэффициентов квинты и кварты.

Разделив же (3.2.1) на , мы получим музыкальную пропорцию (1.4.10):

или октава относится к квинте, как кварта к основному тону.

Наконец, найдем интервальный коэффициент между струнами квинты и кварты , который вместе со своим интервалом называется тоном (не следует путать тон-интервал и тон-звук данной высоты):

т. е. тон-интервал равен отношению квинты к кварте.

Полученные результаты, известные из сохранившихся фрагментов сочинений Архита, собраны на рисунке 75, где интервалы, которые целая струна монохорда образует со своими частями , , , показаны двойными стрелками.

Рис. 75. Деление струны монохорда () на части, образующие с ней совершенные консонансы: октаву (), квинту () и кварту () и соотношения между ними.

Заметим, что в отличие от обычного расстояния на прямой , определяемого как разность координат конца и начала, интервальный коэффициент — высотное расстояние — определен как отношение составляющих его тонов: . Тогда три тона , отстоящих друг от друга на равных интервалах I, образуют геометрическую прогрессию в отличие от трех точек на прямой , расположенных на равных расстояниях r и образующих арифметическую прогрессию . Поэтому интервальные коэффициенты складываются и вычитаются «геометрически», а сами интервалы — «арифметически», как обычные расстояния, а именно:

сумма двух интервалов равна произведению их интервальных коэффициентов:

разность двух интервалов равна частному их интервальных коэффициентов:

n -я часть интервала I равна корню степени n из его интервального коэффициента:

и т. д.

Решение задачи деления октавы подсказало Архиту «музыкальное доказательство» иррациональности . В самом деле, если разделить октаву на два равных интервала I, то, полагая в (3.2.2) , имеем

Но при таком соотношении длин струн прослушивается явный диссонанс. Поскольку же консонанс определяется отношением целых чисел вида , то напрашивается мысль, что число не может быть выражено отношением двух целых чисел, т. е. является иррациональным.

Но вернемся к построению музыкальной гаммы. Интервал между квинтой и квартой (3.2.4), или тон-интервал, и был принят пифагорейцами в качестве основной ладообразующей ступеньки гаммы. Оставалось только отложить от тоники () тон-интервал (), затем еще один тон-интервал () а оставшийся интервал между вторым тоном и тоном кварты () назвать полутоном: .

Название это вполне оправдано, так как деление тона-интервала пополам по формуле (3.2.7) дает , а , т. е. полутон практически равен половине тона. Так был построен тетрахорд (τετρά-χορδον) — четырехструнный звукоряд в пределах кварты — основа всей древнегреческой музыки. Имеется только три возможности для помещения полутона в пределах тетрахорда, что и определило характер и название тетрахорда:

дорийский: полутон -тон-тон;

фригийский: тон- полутон -тон;

лидийский: тон-тон- полутон.

Названия тетрахордов указывали на области Греции и Малой Азии, каждая предпочитала свой лад и свой тетрахорд.

Поскольку октава уже разделена на квинту и кварту или на две кварты и тон-интервал между ними, то в пределах октавы умещались два тетрахорда, соединенные интервалом в тон. Два одноименных тетрахорда вместе с разделительным тоном и составляли гамму, или, как говорили пифагорейцы, гармонию (’αρμονία — связь, согласие, гармония). По числу тетрахордов основных гармоний получалось три (1 — обозначает тон, 1/2 — полутон, разделительный тон обведен кружком):

дорийская: 1/2—1 — 1— ① —1/2—1 — 1;

фригийская: 1 —1/2—1— ① —1 —1/2—1;

лидийская: 1 — 1 —1/2— ① —1 — 1 —1/2.

Античные гармонии почти без изменений перешли в современные гаммы. В самом деле, каждый, знакомый с азами музыкальной грамоты, узнает в лидийской гармонии обычный натуральный мажор (2 тона — полутон, 3 тона — полутон, или на белых клавишах фортепиано до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до), а в дорийской и фригийской — чуть измененный натуральный минор.

Зная размеры интервалов, образующих, например, лидийскую гармонию, и правила действия с ними, легко получить математическое выражение этой гаммы, или ее музыкальный строй. Приняв частоту нижнего тона за единицу , находим первый тетрахорд: , , , . Второй тетрахорд получается сдвигом первого на квинту:

Окончательно для интервальных коэффициентов имеем

Это и есть музыкальный строй лидийской гаммы, называемый также пифагоровым строем или каноном Пифагора (рис. 76).

Рис. 76. Пифагоров строй лидийской гаммы и его математические характеристики.

По преданию, Орфей настраивал лиру по канону Пифагора. А доподлинно известно, что в античной лире четыре струны тон-кварта-квинта-октава имели постоянную настройку по тетраде, или как числа , а остальные струны перестраивались в зависимости от лада, в котором предстояло на ней играть.

Пифагорейцы владели и другим способом построения музыкальной гаммы, который был более практичным и до сих пор применяется при настройке музыкальных инструментов. Оказывается, гамму можно построить, пользуясь лишь двумя совершенными консонансами — квинтой и октавой. Суть этого метода состоит в том, что от исходного звука, например до, , мы движемся по квинтам вверх и вниз и полученные звуки собираем в одну октаву. Так, мы получим

Располагая эти звуки и их интервальные коэффициенты по порядку, находим пифагоров строй лидийской гаммы (3.2.8).

Однако, двигаясь по квинтам вверх и вниз, мы никогда не получим в точности октавного повторения исходного звука. Лишь 12 квинт приближенно равны 7 октавам, а разделяющий их интервал называется пифагоровой коммой (κόμμα — часть предложения, отрезок):

Несмотря на свою малость, пифагорова комма на протяжении столетий портила кровь музыкантам вплоть до начала XVIII в., когда немецкий органист Андреас Веркмейстер (1645 — 1706) построил равномерно-темперированную музыкальную гамму, в которой пифагорова комма разделилась на 12 частей и стала практически незаметной. Впрочем, здесь мы уже выходим далеко за рамки нашей книги, а те, кого заинтересуют эта и другие математичекские изюминки музыкальной гаммы, могут их найти в книге автора «Математика и искусство» (М.: Просвещение, 1992).

Пифагорейцы умели также и по-другому располагать тетрахорды в октаве. Они «склеивали» тетрахорды так, что верхний звук одного тетрахорда являлся нижним звуком второго. Дополняющий до октавы тон помещали внизу или наверху такой системы. В первом случае к названию тетрахорда прибавляли приставку гипо (под), а во втором — приставку гипер (над). Так, получалось еще 6 гармоник, среди которых две пары (гипофригийская — гиперлидийская и гиподорийская — гиперфригийская) оказывались одинаковыми. Отбросив их, оставалось семь основных ладов по числу основных ступеней лада.

Вспоминая, что сегодня в музыке господствуют только два лада — мажор и минор, остается только удивляться тому, насколько утонченным было античное музыкальное сознание. Каждый лад пифагорейцы наполняли определенным этико-эстетическим содержанием — этосом (ήθος — нрав, натура), устанавливая ясную связь между музыкальными образами и состоянием души. Вообще, музыке пифагорейцы приписывали врачующие и даже магические функции, но особое значение придавалось музыке как средству воспитания. Просто поразительно, сколь созвучны этим мыслям пифагорейцев были слова древнекитайского философа Конфуция (ок. 551 — 479), который в это же время на другом конце Земли говорил: «Если хотите знать, как страна управляется и какова ее нравственность — прислушайтесь к ее музыке». Здесь мы находим прекрасное подтверждение удивительного родства образа мысли древнегреческих и древнекитайских мыслителей, о котором шла речь на с. 8).

Пифагорейское учение об этосе ладов развили Платон и Аристотель. Платон для мирной жизни оставляет строгий дорийский лад, считая его подлинно греческим, мужественным, способным сопровождать на подвиг и на смерть. Для чрезвычайных событий он предпочитает фригийский лад как наиболее страстный и возбуждающий. Лидийский же лад Платон называет печальным и соответствующим более женской, а не мужской психике. Остальные лады как слишком утонченные Платон отбрасывает, проводя в воспитании принцип строгости и простоты.

Аристотель судит о ладах, пожалуй, еще строже Платона, признавая только дорийский лад как лад, способный тренировать психику. Тем не менее Аристотель делает подробную классификацию ладов. Прекрасное описание этоса греческих ладов мы находим во «Флоридах» Апулея: «Жил когда-то флейтист по имени Антигенид. Сладостен был каждый звук в игре этого музыканта, все лады были знакомы ему, и мог он воссоздать для тебя, по твоему выбору, и простоту эолийского лада, и богатство ионийского, и грусть лидийского, и приподнятость фригийского, и воинственность дорийского».

Впрочем, стоп! Нет ли здесь противоречия? Дорийский лад называется воинственным, а ведь по существу это наш минор?! Поскольку же дорийский лад считался истинно греческим, то получается, что основной характер греческой музыки печальный, минорный? Для греков же дорийский лад является выражением бодрости, жизнерадостности и даже воинственности. Вот как объясняет это кажущееся противоречие А. Ф. Лосев: «Греческое искусство — неизменное жизнеутверждение. Благородная сдержанность и даже печаль не оставляют грека и тогда, когда он веселится, когда он бодро строит жизнь, когда он воюет и погибает. «Веселые» же лады так или иначе тяготеют к этому прекрасному, благородному, бодрому, важному и в то же время величественно-печальному ладу — дорийскому. Дорийский лад — это скульптурный стиль греческой музыки... Так задумчива, печальна и благородна вся греческая скульптура».

Итак, пифагорейцы не только нашли строгие математические методы построения музыкальных ладов, которые практически без изменения вошли в современную музыку, но и заложили основы учения об этосе каждого лада. В пифагорейской теории музыки был достигнут союз математики и искусства, союз, принесший неоценимую пользу и науке математике, и искусству музыки.

«Природу и силу числа можно видеть в преизбытке не только в духовных и божественных вещах, но и во всех человеческих делах и мыслях, везде, даже в произведениях искусств и в музыке». Так писал пифагореец Филолай.

На этом можно было бы расстаться с пифагорейской теорией музыки. Но читатель вправе спросить: какова природа столь удивительного и загадочного закона целочисленных отношений консонансов, закона одновременно физико-математического и эстетического, закона, который составляет основу всей этой теории? Сегодня математика способна ответить и на это вопрос.