Алгоритм проведения расчетов

Для того, чтобы при уровне значимости ɑ проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:

1. Вычислить, например, методом средней арифметичкской взвешенной, выборочную среднюю Хср и выборочное квадратическое отклонение ơ² , причем в качестве варианта Xi* принимают среднее арифметическое концов интервала:

Xi* = (х_i + х _i+1) /2

2. Пронормировать Х. т.е. перейти к случайной величине Z=(Х-х _ср.*)/ ơ², и вычислить концы интервалов: Z_i =(х_{i -} х _ср.*)/ ơ*, Z _i+1 =(х _{i +1-} х _ср.*)/ ơ*

причем наименьшее значение Z, т.е. Z_1, полагают равным -∞,а наибольшее, т.е. Z_s+1, полагают равным ∞.

3. Вычислить теоретические частоты:

n_i¹ =n*P_i

где n- объем выборки(сумма всех частот); P_i=Ф (Z_i+1)- Ф (Z_i)^__вероятность попадания Х в интервалы (х_i;х _i+1 ); Ф (Z)-функция Лапласа

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

А. Составляют расчетную таблицу, по которой находят наблюдаемое значение критерия Пирсона.

χ²_набл =∑(n_i-n_i¹)²/ n_i¹

i	ni	ni1	ni-ni1	(ni-ni1)2	(ni-ni1)2/ ni1
∑					χ 2набл=

Б) по таблице критических точек распределения χ ^2, по заданному уровню значимости ɑ и числу степеней свободы к = S-3(S-число интервалов выборки) находят критическую точку правосторонней критической области χ ²_кр(ɑ;к)

Если χ²_набл< χ ²_кр- нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Если χ²_набл> χ ²_кр-гипотезу отвергают.

Пример:

1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05, проверить согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки объема n =100, приведенным в таблице 1

Номер интервала-i	Граница интервала	Частота ni
хi	Х i+1
			n=100

Решение:

Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом среднеарифметической взвешенной. Для этого перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты х_i* среднее арифметическое концов интервала:

х_i*= (х_i+ х_i+1)/2. В итоге получим распределение:

хi*	5,5	10,5	15,5	20,5	25,5	30,5	35,5
ni

выкладки по методу среднеарифметической взвешенной, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение: х_ср.*=20,7, ơ*= 7,28

2.Найдем интервалы (z_i, z_i+1) учитывая, что х_ср* =20,7, ơ*= 7,28,

1/ ơ*=0,137. Для этого составим расчетную таблицу 2 (левый конец первого интервала примем равным —͚∞, а правый конец последнего интервала ∞).

Таблица 2

i	Границы интервала	хi - х*	хi+1 –хср*	Границы интервала
хi	хi+1	zi=(хi-хср*) / ơ*	zi+1=(хi+хср*) / ơ*
			-	-12,7	-∞	-1,74
			-12,7	-7,7	-1,74	-1,06
			-7,7	-2,7	-1,06	-0,37
			-2,7	2,3	-0,37	0,32
			2,3	7,3	0,32	1,0
			7,3	12,3	1,0	1,69
			12,3	-	1,69	∞

3.Найдем теоретические вероятности Рi и теоретические частоты ni*=n*Pi=100*Pi. Для этого составим расчетную таблицу 3

Таблица 3

i	Границы интервала	Ф (zi)	Ф (zi+1)	Рi=Ф(zi+1) - Ф (zi)	ni1=100*Pi
хi	хi+1
	-	-1,74	-0.5000	-0.4591	0.0409	4.09
	-1,74	-1,06	-0.4591	-0.3554	0.1037	10.37
	-1,06	-0,37	-0.3554	-0.1443	0.2111	21.11
	-0,37	0,32	-0.1443	0.1255	0.2698	26.98
	0,32	1,0	0.1255	0.3413	0.2158	21.58
	1,0	1,69	0.3413	0.4545	0.1132	11.32
	1,69		0.4545	0.5000	0.0455	4.55
∑

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:

А) вычислим наблюдаемые значения критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу 4. Столбцы 7,8 служит для контроля вычислений по формуле:

χ²_{набл =}∑( n_i² /ni) –n

Контроль:

∑( n_i² /ni) –n=113,22-100=13,22= χ²_набл