Нормальное распределение (или закон Гаусса-Лапласа)

Де-Муавр вывел нормальный закон распределения вероятностей. В разработку этого закона внесли существенный вклад К.Гаусс и А.Лаплас. Гаусс исходил из признания наиболее значимым вероятным значением случайной величины–средней арифметической. Общее условие возникновения нормального закона распределения установил А.М.Ляпунов.

Нормальная кривая описывается следующей формулой:

У= 1 / σ√ 2π * е^{-(х-хср)2 /2 σ2}

где –х- случайная величина; хср- средняя арифметическая или математическое ожидание; σ- среднее квадратическое отклонение

Существенными факторами, определяющими центр группировки и форму нормальной кривой, являются параметры хср и σ. Графически изображение нормальной кривой напоминает колокол.

При хср =0 и σ=1 нормальную кривую называют нормированной кривой или распределением нормальным в каноническом виде. Описывается она следующей формулой:

У =1/√ 2π * е^{-х2 /2}

Нормальное распределение признака наблюдается в тех случаях, когда на величину признака явления действует множество случайных независимых или слабо зависимых факторов, каждый из которых играет в общем итоге относительно незначительную роль (отсутствуют доминирующие факторы).

Ляпунов доказал, что если изучаемый признак представляет собой результат суммарного действия многих факторов, каждый из которых мало связан с большинством остальных, и влияние каждого фактора на конечный результат намного перекрывается суммарным влиянием всех остальных факторов, то распределение становится близким к нормальному. В математической статистике нормальное распределение играет роль некоторого стандарта, с которым сравнивают другие распределения.

При построении нормальной кривой по эмпирическим данным, используют следующую формулу:

У = h*∑n_i/n/ σ *1/√ 2π * е^-t^{2 /2}

где h –величина интервала

∑ n_i –сумма всех частот, равная объему совокупности

σ – среднее квадратическое отклонение

t – центрированное и нормировано отклонение, равное (х-хср) / σ

величина 1/√ 2π * е^-t^{2 /2} – табулирована и может быть определена из соответствующих математико-статистических таблиц.(прилож.2)

табулирование –нахождение значений функции и построение таблиц по аналитическому выражению, связывающему переменные х и у.

Если у = f (х), то у_о = f (х_о), у1= f (х₁), … у i= f (хi). Обычно значения аргумента (х) следуют друг за другом через одно и то же число h -называемое шагом таблицы. Тогда х _{i +1}=х _i +h (i = 0,1,…) Для табулирования функций заданных аналитически, часто применяют разложение в ряды.

Пример:

Построим нормальную кривую по данным о распределении 200 деталей по весу

Находим среднюю по формуле: хср.= х¹ср.*h +х_{0 .} За х₀ принимаем центр интервала, равный 328,5 и h= 5

В графах 3,4 проводим подготовительные расчеты и получаем:

Х ср. = -212/2500*5+328,5=323,2

Находим среднеквадратическое отклонение:

σ = √ (х¹)²* n/ Σ n*h² – (х_ср-х₀)² = √ 992/200*25 – 5,3²= √ 95,91~ 9,79

Находим t в каждой строке по формуле t=(х-хср)/σ (графа 9)и затем по приложению 2 (таблица значений функции f (t)=1/√ 2π * е^{-х2 /2} (плотность нормального распределения)

находим f(t). Для вычисления теоретических частот (т.е. ординат нормальной кривой, гр.10) находим множитель h∑ n / * σ =5*200/9,79~102,14 и все найденные в графе 9 величины f (t) умножаем на 102,14

Так для первого интервала получим 102,14*0,1295=13 и т.д.

Учитывая, что полученные теоретические частоты могут быть только целыми числами, округляем их и находим сумму, она равна 192. Т.о. видим несовпадение суммы теоретических частот (192) с суммой фактических частот (200). Такие расхождение бывает в тех случаях, когда крайние теоретические частоты значительно отличаются от нуля. В этих случаях теоретическую кривую надо продлевать. В нашем примере нормальная кривая должна быть продолжена в сторону отрицательных отклонений от средней, т.к. первая не уточненная частота равна 13.

Производим такой расчет теоретических частот для двух предшествующих интервалов, в которых фактические частоты равны нулю и получаем для интервалов 296-301 и 301-306 теоретические частоты, равные 2 и 6.Для наглядности строим график, на который наносим фактическое распределение в виде гистограммы и нормальную кривую.