Неравенство Чебышева

Рассмотрим дискретную случайную величину, заданную рядом распределения . Оценим вероятность того, что отклонение случайной величины X от M(X) по абсолютной величине не превосходит .

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положитель­ного числа , не меньше, чем 1 - D(Х)/ :

P (| X— М (X) | < ) 1 — D (Х)/ .

Так как события, состоящие в осуществлении неравенств и , противоположны, то сумма их вероятностей равна еди­нице

.

Таким образом, задача сводится к вычислению вероят­ности .

Напишем выражение дисперсии случайной величины X:

.

Отбросим те слагаемые, у которых (для оставшихся слагаемых ), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся счи­тать для определенности, что отброшено k первых сла­гаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таб­лице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

где