2015-09-06
6025
Пусть кривая L задана в полярной системе координат:
,тогда L= 
= 
=
= 
=
= 
.
Длина дуги кривой в полярной системе координат L= 
.
Пример: Вычислить длину кардиоиды 
. В силу симметричности кривой вычислим ½ длины. ½L= 
= 
=
= 
= 
= 
= 
=
= 
= 
½L= 
= 
=4(1-0)=4 ÞL=4∙2=8
Дифференциал дуги.
Пусть в формуле L = 
для длины дуги нижняя граница остается постоянной, а верхняя граница изменяется. Чтобы подчеркнуть это, обозначим верхнюю границу буквой x, а переменную интегрирования – буквой t. Учтем, что длина дуги L есть функция верхней границы, тогда получим:
Согласно теореме о производной интеграла по верхней границе эта функция дифференцируема, и ее производная находится по формуле:
Отсюда дифференциал дуги dL 
или, в сокращенной записи, dL = 
dx. Так как 
, то dL = 
, или dL = 
Учитывая полученный результат и то, что дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, приходим к следующему геометрическому смыслу дифференциала дуги: дифференциал дуги dL равен длине отрезка касательной от точки касания с абсциссой x до точки с абсциссой x+dx.
Вопросы для самоконтроля:
1.Запишите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной в декартовой системе координат.
2.Запишите формулу для вычисления длины дуги, заданной параметрически.
3.Запишите формулу для вычисления длины дуги, заданной в полярной системе координат.
4.Каков геометрический смысл дифференциала дуги?
Задачи для самостоятельного решения:
1.Найти длину дуги параболы y= 
отx=0 доx=1.
2. Найти длину дуги кривой x= 
, y= 
от t=0 до t=1.
3.Найти длину дуги кардиоиды r=2 
.
Пример 1. Найти длину линии 
от точки 
до точки 
.
Решение: Линия задана в декартовой системе координат. Очевидно, что 
.
Так как на рассматриваемом промежутке 
, то
= 
= 
=
= 
= 
= 
Отметим, что при вычислении интеграла мы воспользовались заменой:
Пример 2. Найти длину кривой 
.
Решение: Кривая задана параметрически. Легко видеть, что
= 
=
= 
=
= 
= 
= 
.
Так как на промежутке 
выполняется равенство 
= 
, то
= 
= 
Пример 3.
Найти длину дуги кардиоиды r=a(1+cos 
Решение: Кардиоида симметрична относительно полярной оси. Изменяя полярный угол 
от 0 до 
, мы получим половину длины кардиоиды:
= a 
│ 
=4asin 
Вся длина кардиоиды l=2 
Можно показать, что для длины дуги пространственной кривой, заданной уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t), 
, имеет место следующая формула:
l = 
