Вычисление длины дуги кривой L, заданной в полярной системе координат

Пусть кривая L задана в полярной системе координат:

,тогда L=

= =

= =

= .

Длина дуги кривой в полярной системе координат L= .

Пример: Вычислить длину кардиоиды . В силу симметричности кривой вычислим ½ длины. ½L= = =

= = = = =

= =

½L= = =4(1-0)=4 ÞL=4∙2=8

Дифференциал дуги.

Пусть в формуле L = для длины дуги нижняя граница остается постоянной, а верхняя граница изменяется. Чтобы подчеркнуть это, обозначим верхнюю границу буквой x, а переменную интегрирования – буквой t. Учтем, что длина дуги L есть функция верхней границы, тогда получим:

Согласно теореме о производной интеграла по верхней границе эта функция дифференцируема, и ее производная находится по формуле:

Отсюда дифференциал дуги dL или, в сокращенной записи, dL = dx. Так как , то dL = , или dL =

Учитывая полученный результат и то, что дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, приходим к следующему геометрическому смыслу дифференциала дуги: дифференциал дуги dL равен длине отрезка касательной от точки касания с абсциссой x до точки с абсциссой x+dx.

Вопросы для самоконтроля:

1.Запишите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной в декартовой системе координат.

2.Запишите формулу для вычисления длины дуги, заданной параметрически.

3.Запишите формулу для вычисления длины дуги, заданной в полярной системе координат.

4.Каков геометрический смысл дифференциала дуги?

Задачи для самостоятельного решения:

1.Найти длину дуги параболы y= отx=0 доx=1.

2. Найти длину дуги кривой x= , y= от t=0 до t=1.

3.Найти длину дуги кардиоиды r=2 .

Решение типовых задач:

Пример 1. Найти длину линии от точки

до точки .

Решение: Линия задана в декартовой системе координат. Очевидно, что .

Так как на рассматриваемом промежутке , то

= = =

= = =

Отметим, что при вычислении интеграла мы воспользовались заменой:

Пример 2. Найти длину кривой

.

Решение: Кривая задана параметрически. Легко видеть, что

= =

= =

= = = .

Так как на промежутке выполняется равенство = , то

= =

Пример 3.

Найти длину дуги кардиоиды r=a(1+cos

Решение: Кардиоида симметрична относительно полярной оси. Изменяя полярный угол от 0 до , мы получим половину длины кардиоиды:

= a │ =4asin

Вся длина кардиоиды l=2

Можно показать, что для длины дуги пространственной кривой, заданной уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t), , имеет место следующая формула:

l =