Тема 9. Дифференциал функции. Понятие дифференциала

Понятие дифференциала.

Определение 9.1. Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимого переменного, т.е

.

Поскольку дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением (), то

.

Таким образом, для того чтобы найти дифференциал функции, необходимо умножить производную этой функции на дифференциал ее независимой переменной.

Основные правила нахождения дифференциалов.

1) Дифференциал суммы (разности) двух дифференцируемых функций равен сумме (разности) дифференциалов этих функций:

.

2) Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений дифференциала первого сомножителя на второй и дифференциала второго сомножителя на первый:

.

3) Дифференциал частного двух дифференцируемых функций может быть найден по формуле:

.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:

.

Пример 9.1. Найти дифференциал функции

а) по определению;

б) используя правила нахождения дифференциала.

Решение:

а)Находим производную от заданной функции:

.

Тогда по определению дифференциала: .

б) Находим непосредственно дифференциал, используя правила нахождения дифференциалов (1 и 4):

.