вероятностей

Теория вероятностей представляет собой раздел математики, в котором изучаются закономерности массовых явлений, носящих случайный характер. Одним из основополагающих понятий теории вероятностей является понятие события или случая. Под событием в теории вероятностей понимается всякое явление, относительно которого имеет смысл поставить вопрос: может оно произойти или нет. Примером события может быть попадание молекулы газа в определенный объем пространства. Опыт, в результате которого появляется или не появляется то или иное событие, называется испытанием. Событие называется случайным, если в результате испытания оно может может произойти или не произойти. Два события называются равновероятными, если при достаточно большом числе N испытаний каждое событие появляется одинаково часто. Событие, которое состоит в появлении события A или события B или обоих событий вместе, называется суммой двух событий A и B. Сумма событий A и B обозначается как A + B. Событие, состоящее в появлении обоих событий A и B одновременно, называется произведением событий A и B, обозначается AB. События называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого. Два события называются независимыми, если появление каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Дадим теперь определение вероятности события. Вероятностью случайного события называется количественная мера, равная частоте его появления при неограниченном числе испытаний N. Таким образом, по определению, если при N испытаниях событие, имеющее признак A, появляется N_A раз, то вероятность этого события

Из этого определения следует, что Если некоторое событие А достоверно, т.е. обязательно происходит при каждом испытании, то p (A) = 1. Если же событие А не может произойти, то p (A) = 0.

Приведем без доказательства две основные теоремы теории вероятности, используемые при изложении статистических методов молекулярной физики.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме их вероятностей:

p (A + B) = p (A) + p (B).

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

p (AB) = p (A) p (B).

Случайное событие может заключаться в том, что какая-то величина имеет определенное значение. Такие величины, значения которых зависят от случая, называются случайными. Предположим, что производится некий эксперимент (испытание) по измерению некоторой физической величины X и этот эксперимент при определенных условиях можно воспроизвести неограниченное число раз. Величина X является случайной, если ее значение x в каждом конкретном эксперименте непредсказуемо. Случайные величины могут принимать как дискретный, так и непрерывный ряд значений. Задание всех значений случайной величины с их вероятностями определяет закон распределения этой величины.

Если некоторая величина X может принимать непрерывный ряд значений x, то вероятность dp того, что величина X лежит в бесконечно малом промежутке между x и x + dx, равна f (x) dx. Величина f (x) называется плотностью вероятности. Очевидно, что

Это соотношение называется условием нормировки вероятностей. В случае дискретной величины X условие нормировки вероятностей записывается в виде

Если значения случайной величины X образуют ряд N значений x ₁, x ₂, x ₃, …, x_N, то среднее значение этой величины определяется по формуле

Часто в серии из N испытаний каждое возможное значение повторяется N_j раз. Тогда N а среднее значение запишется в виде

При отношение определяет вероятность p_j. Тогда среднее значение