Выборки с повторениями

К выборкам с повторениями можно прийти, выбирая r элементов из генеральной совокупности, содержащей n классов, при достижении соглашения считать элементы внутри класса неразличимыми. Предполагается, что каждый класс содержит не менее r элементов.

Df. Сочетаниями с повторениями называются выборки заданного числа элементов из некоторого множества, в которых допускаются повторения элементов.

#. Выбор четырёх открыток, если в продаже имеются открытки пяти видов. Здесь возможен выбор нескольких одинаковых открыток.

Теорема. Число сочетаний с повторениями из n элементов по r элементов равно числу сочетаний без повторений по столько же элементов из n+r –1 элементов.

(12) .

#. Найдем количество различных покупок по четыре открытки, если в продаже имеются открытки 5 видов. Это количество равно

Размещения с повторениями можно определить по аналогии с сочетаниями с повторениями. Видно, что данному определению удовлетворяют рассмотренные ранее кодовые слова заданной длины (в них буквы могут повторяться). Алфавитом может служить любое множество, если всякий раз выбираемый элемент копируется в выборку, затем возвращается в первичное множество. Численность размещений с повторениями, как мы это уже установили, равна

(13) .

Размещениями с повторениями являются также упорядоченные выборки заданного размера из генеральной совокупности, содержащей n классов, при достижении соглашения считать элементы внутри класса неразличимыми. Предполагается, что каждый класс содержит не менее r элементов.

Пример. Располагая латинским алфавитом V_L, можно составить 26³=17576 различных трехбуквенных слов (предполагается n (V_L)=26, k= 3).

Задания:

Законспектировать определения и формулы соединений в тетрадь.

Разобраться с таблицей и привести свой пример на каждый вид соединений.

Решить задачи:

1. Сколькими способами можно надеть по одному кольцу на 4 пальца руки, выбирая из 5 различных колец?

2. Научное общество состоит из 25 человек. Нужно выбрать президента, вице-президента, секретаря и казначея. Сколькими способами можно осуществить выбор, если каждый член общества может занимать не более одной выборной должности?

3. Из 9 солдат старшина произвольно отбирает двух для дежурства. Одного из них он назначает старшим. Сколькими способами он может это сделать?

4. Подсчитайте число возможных анаграмм (перестановок букв) из слова:

а) ананас; б) Миссисипи.

5. Сколько существует способов рассадить 7 человек на семи стульях?

6. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

7. Сколько существует способов выбрать троих ребят из семерых желающих дежурить в столовой?

8. Из лаборатории, в которой работают 10 сотрудников, надо отправить четверых в командировку. Сколькими способами это можно сделать?

9. Сколько различных трехзначных чисел можно записать из цифр 1и 2?

10. В буфете имеется 4 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 6 пирожных?

[1] От франц. combination — сочетание.

[2] От франц. arrangement — размещение.