Упражнение 86

На сторонах произвольного треугольника ABC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC ₁, A ₁ BC и AB ₁ C. Докажите, что прямые AA ₁, BB ₁ и CC ₁ пересекаются в одной точке. (Hint: remember #84)

Упражнение 87 *. (прямая Симсона.)

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой.

Упражнение 88*.

В треугольнике ABC стороны AC и BC не равны. Докажите, что биссектриса угла C делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины C, тогда и только тогда, когда C = 90^o.

(Hint: look at the picture).

Упражнение 89*.

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по точкам пересечения с его описанной окружностью высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной вершины.

(Hint: look at the picture).

Упражнение 90*.

Окружности S ₁ и S ₂ пересекаются в точке A. Через точку A проведена прямая, пересекающая S ₁ в точке B, S ₂ — в точке C.

В точках C и B проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, что угол BDC не зависит от выбора прямой, проходящей через точку A.

Упражнение 91*.

Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Докажите, что CT — биссектриса угла ACB.