Упражнение 100. Упражнение 102. (признаки подобия треугольников)

Даны (соизмеримые) отрезки a, b и c. Построить отрезок х такой, что a:b=c:x.

Упражнение 101.

Пусть имеется гомотетия с центром О и коэффициентом kÎQ.

a) Докажите, что при этом расстояния между любыми двумя точками плоскости увеличивается (при k<1 уменьшается, а при k<0 ещё происходит и отражение относительно О) в k раз.

b) Докажите, что при этом прямые, не проходящие через центр гомотетии переходят в параллельные им прямые (а прямые, проходящие через этот центр, – сами в себя).

c) Докажите, что образы трёх точек, инцидентных одной прямой, инцидентны одной прямой.

Доказав это утверждение, используя чертёж и теорему №99 (дважды!), докажите то же самое другим способом, с помощью векторов. Сравните оба способа – который из них вам показался проще?

Это упражнение открывает перед нами новую группу преобразований плоскости: группу подобий. Она состоит из всех композиций преобразований, компонентами которых являются конгруэнции и гомотетии. Например, элементом этой группы будет последовательность abcdcega, где а – отражение относительно некоторой прямой, b – гомотетия относительно некоторой точки О₁ с коэффициентом k₁, c – поворот относительно некоторой точки О₂ на угол a, d – параллельный перенос на вектор d, e - гомотетия относительно некоторой точки О₃ с коэффициентом k₂, g - поворот относительно некоторой точки О₄ на угол b. Поскольку при каждом таком преобразовании прямые линии переходят в прямые линии, причём параллельные линии переходят в параллельные, и расстояния между любыми двумя точками изменяются с одним и тем же коэффициентом пропорциональности, это же верно и для их композиции.

Def. Фигуры, принадлежащие одной орбите при действии группы подобий, называются подобными.

В нашем изложении пока что коэффициенты гомотетий – рациональные числа.

Упражнение 102. (признаки подобия треугольников)

Докажите, что два треугольника подобны, если

a) У них имеется пара соответственно конгруэнтных углов, а стороны одного из них, инцидентные вершине этого угла пропорциональны сторонам другого треугольника, составляющим конгруэнтный ему угол с одним и тем же коэффициентом пропорциональности k;

b) У них имеется две пары соответственно конгруэнтных углов;

c) Стороны одного из них пропорциональны сторонам другого с одним и тем же коэффициентом пропорциональностиk.

Упражнение 103.

Пусть даны окружность S и точка М вне круга В, ограниченного этой окружностью. Пусть секущая, проведённая из точки М пересекает окружность S в точках В и С. Тогда произведение МВ´МС является инвариантом (то есть, не зависит от положения секущей. В частности, если имеется касательная МА, то МВ´МС=МА².

Упражнение 104.

Пусть даны окружность S и точка М внутри неё. Проведём через М хорду, встречающую окружность S в точках В и С. Тогда величина МВ´МС является инвариантом (то есть, не зависит от проведения хорды, постоянна для любой хорды, проходящей через М).