2015-09-06
504
«Определение отношения молярных теплоемкостей Ср/Сv методом измерения скорости звука»
Приборы и принадлежности: звуковой генератор ЗГ, электронный осциллограф, микрофон, телефон.
Скорость распространения продольных волн в упругой среде вычисляется по формуле:
(4.1)
Модуль Юнга Е определяется по деформации упругого стержня длиной l:
,
где 
- упругое напряжение в стержне, 
- относительное удлинение.
Для столба газа напряжение заменим добавочным (избыточным) давлением 
, вызывающим сжатие газа, а относительную линейную деформацию 
- относительной объемной деформацией 
, так как столб газа сжимается только вдоль своей длины (вдоль направления распространения волны). Таким образом, для газа имеем:
(4.2)
По сравнению с твердыми телами газы обладают гораздо худшей теплопроводностью, и поэтому участки сжатия (где происходит нагрев) и участки разрежения (охлаждение) не успевают обменяться теплом, что приводит к увеличению упругости газа. Сжатие и разряжение происходим адиабатически, т. е. без обмена теплом. Найдем значение Е по формуле (4.2) при адиабатическом сжатии газа. Запишем сначала (4.2) так:
, (4.3)
Заменим приращение дифференциалами, получим:
. (4.4)
Производную 
вычислим из уравнения Пуассона для адиабатического процесса
(4.5)
где 
- отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме.
Дифференцируя уравнение Пуассона по V, получим:
.
Отсюда
. (4.6)
Подставляя это выражение в (4.4), получим:
.
Теперь формула (4.1) для скорости звука примет вид:
. (4.7)
Хотя в формуле присутствует давление 
, тем не менее скорость звука не зависит от давления газа. Действительно, подставляя в (4.7) вместо выражение, полученное из уравнения состояния идеального газа 
(где V – объем одного моля газа, T – термодинамическая температура), и учитывая, что 
есть молярная масса, приходим к следующей формуле для скорости звука в газе:
, (4.9)
отсюда
(4.10)
Из соотношения (4.9) видно, что скорость звука не зависит от давления газа, но пропорциональна 
(величины 
, 
, 
- постоянные для данного газа).
При условии, что плотность воздуха не слишком велика, то скорость (фазовая скорость U) звуковых волн практически не зависит от частоты (отсутствие дисперсии). Если представить себе, что в некоторой точке пространства давление меняется во времени по закону
, (4.11)
то на расстоянии X, в направлении распространения волны, такие же колебания будут наблюдаться по истечении времени 
, т.е.
(4.12)
Выражение (4.12) отражает характерное свойство волны, что фаза изменения давления линейно возрастает в направлении распространения волны
(4.13)
Расстояние, на котором фаза изменяется на 2π, называется длиной волны λ. Согласно этому
(4.14)
где ν - частота, заданная звуковым генератором.
Метод измерения длины волны λ основывается на установлении минимального расстояния между точками пространства, в которых колебания давления происходит синфазно.
 |
Воспользуемся установкой, состоящей из звукового генератора (ЗГ), динамика (Д), микрофона (М) и осциллографа (ЭО). Схема представлена на рис.8.
Сигналы от звукового генератора и динамика подаются на вход пластин осциллографа, находящихся во взаимно перпендикулярном положении (Х,У). В результате суперпозиции взаимно перпендикулярных гармонических колебаний луч на экране осциллографа будет вычерчивать эллипс
,
форма и ориентация которого зависит от фазы сигнала микрофона.
Перемещая микрофон, фаза колебания звукового сигнала с микрофона будет изменяться согласно уравнению (4.13), в то время как фаза сигнала со звукового генератора не меняется.
Измерения производят в следующем порядке. Устанавливают микрофон на скамью так, чтобы на экране осциллографа была прямая линия, затем перемещают его до получения такой же прямой. Очевидно, величина перемещения равна длине волны.
Последовательность фигур, наблюдаемых на экране осциллографа при перемещении микрофона, изображена на рис. 4.2.
