Температура при ударном и изоэнтропическом процессах в совершенном газе

Для анализа увеличения температуры при ударном сжатии необходимо знать термическое уравнение состояния среды P₂= P₂(r ₂,T₂). Если известны параметры ударной волны P₂ и r ₂, то из уравнения состояния определяется температура ударного сжатия среды T_4.3. Например, для совершенного газа термическое уравнение состояния имеет вид

(4.3.22)

Для двух состояний совершенного газа можно записать

(4.3.23)

где параметры с индексом 1 - это первоначальные параметры газа, а с индексом 2 - параметры после сжатия.

Для изоэнтропического сжатия совершенного газа справедливо соотношение

(4.3.24)

Тогда, учитывая (4.3.23), запишем

или, разрешив это уравнение относительно температуры, получим

(4.3.25)

Итак, при изоэнтропическом сжатии температура вдоль изоэнтропы P = P(r) растет и имеет следующую зависимость от давления:

P₂ ~ T₂^k/(k-1).

Если газ при ударном сжатии не меняет своих термодинамических свойств, то для определения температуры в ударной волне T₂ можно использовать формулу (4.3.23). Для этого подставим в уравнение (4.3.23) значение r _2/ r ₁ из ударной адиабаты (4.3.13), в результате получим

(4.3.26)

На основании формул(4.3.23), (4.3.24) и (4.3.13) получим зависимость температуры и плотности:

при изоэнтропическом сжатии

(4.3.27)

при ударном сжатии

(4.3.28)

Из формулы (4.3.28) следует, что так как и , то при

Рис. 4.6.Изменение температуры при ударном и изоэнтропическом сжатии

Сравнив выражения (4.3.25) и (4.3.26), (4.3.27) и (4.3.28), можно заключить, что при ударном сжатии температура растет значительно быстрее, чем при изоэнтропическом сжатии (рис. 4.3.6). Более интенсивный рост температуры в частице, сжатой ударной волной, и объясняет существование предельной плотности при ударном сжатии:

давление ударного сжатия P₂ стремится увеличить плотность r ₂, но интенсивный нагрев, который сопровождает ударное сжатие, стремится уменьшить плотность ударносжатой частицы. В результате наступает равновесие между этими противоположными процессами, которое характеризуется величиной предельной плотности r _пр.