Теоретичні відомості

Принцип невизначеностей Гейзенберга для координати та імпульсу частинки. У класичній механіці стан матеріальної точки в кожен момент часу характеризується її положенням і імпульсом. Реальні мікрочастинки-електрони, протони, атоми та інші - більш складні об'єкти. Не можна характеризувати миттєвий стан мікрочастинки точними завданнями її положення й імпульсу. Причина цього полягає в тому, що будь-яка мікрочастинка виявляє і корпускулярні і хвильові властивості. Не можна сказати, що у певній точці простору довжина хвилі дорівнює , оскільки довжина хвилі є характеристика синусоїди, а це є періодична крива.

З іншого боку, якщо будь-яке хвильове утворення займає обмежену область простору, то його завжди можна представити синусоїдами. Тільки однієї синусоїди для цього недостатньо. Потрібен хвильовий пакет - суперпозиція безлічі синусоїд різних частот, що підсилювалися б у певному інтервалі простору ∆ х і взаємно гасили би один одного поза цим інтервалом. Якщо довжина хвильового пакета ∆ х, то хвильові числа k, необхідні для його утворення, не можуть займати який завгодно вузький інтервал. Мінімальна ширина інтервалу повинна задовольняти умові:

. (5.1)

Це абсолютно хвильове співвідношення.

Виражаючи через , співвідношення (5.1) можна переписати у вигляді:

. (5.2)

Це співвідношення називається співвідношенням чи принципомневизначеностей Гейзенберга для координати й імпульсу частинки.

Але його не можна тлумачити таким чином, що частинка в кожен момент часу має певні значення х і р, але ми їх не можемо визначити з більшою точністю, ніж це дозволяє співвідношення невизначеностей. Зміст співвідношення (5.2) відбиває той факт, що в природі об'єктивно не існує стану частинок з точно визначеними значеннями х і р.

Співвідношення (5.2) проявляється при всякій спробі виміру точного положення чи точного імпульсу частинки. Виявляється, що уточнення положення частинки позначається на збільшенні неточності в значенні імпульсу, і навпаки. Перевірці цього співвідношення і присвячується дана робота.

Співвідношення невизначеностей для фотонів. Нехай рух фотона описується плоскою монохроматичною хвилею де Бройля . Фотон у такому стані має цілком визначений імпульс:

, (5.3)

але його координата зовсім не визначена. Для визначення x - координати фотона на шляху поширення хвилі ставиться непрозорий екран із щілиною ширини . Якщо фотон пройшов через щілину, то в площині самої щілини координата x буде зафіксована з точністю ~ a. Однак після проходження щілини в результаті дифракції хвильова функція фотона зміниться. Вона буде мати максимуми і мінімуми (рис. 5.1). Фотон може бути виявлений у будь-якому місці, де 0. Як видно з рис. 5.1, практично
усе хвильове поле буде зосереджено в межах центрального максимуму. Його кутова ширина дорівнює 2 (рис. 5.2), а умова максимуму відповідно має вигляд:

. (5.4)

Враховуючи, що випромінювання розповсюджується як на кути, більше , так і на кути, менше , можна записати наступну хвильову умову невизначеності, якій підкоряються кути для більшої частини плоских хвиль, розсіяних на щілині:

. (5.4 а)

З формули (5.4 а) випливає, що звуження щілини (а) обов'язково супроводжується розширенням сектору напрямку (sin ), в якому зосереджено дифракційне поле. Як видно з рис. (5.1), при збільшенні ширини щілини вдвічі, тобто при а ₂ = 2 а ₁, інтервал значень sin φ, що відповідає центральному максимуму, скорочується вдвічі.

Після проходження через щілину у фотона з'являється x -компонента
імпульсу (рис. 5.2):

. (5.5)

Для фотонів, що відхиляються на різні кути, як менше φ, так і більше φ, значення Р_x різні. В цьому випадку вираз (5.4 а) з урахуванням (5.5) запишеться у вигляді:

чи , (5.6)

- де -область локалізації (невизначеність місцеположення) фотонів в площині екрану, а - область значень (невизначеність) компонент імпульсу.

Рис. 5.2. Схема проходження фотонів через щілину

Співвідношення (5.6) показує, що добуток невизначеності координати на невизначеність відповідного їй імпульсу має величину порядку h= 6,62·10^-34 Дж/с. Чим точніше визначена одна з цих величин, наприклад чим вужче щілина, через яку проходять фотони, тим невизначеніший стає імпульс Р_х, і, навпаки, чим ширше щілина (Dх®¥), тим більш визначений імпульс (DР_х® 0). Очевидно, якщо одна з величин має цілком певне значення, то інша є абсолютно невизначеною.

Перевіримо співвідношення невизначеностей (5.6) за допомогою експерименту. Для цього будемо вимірювати ширину щілини, яка характеризує невизначеність координати фотона, і ширину дифракційної картини, яка характеризує невизначеність поперечної координати імпульсу фотона DР_x.

Вимірювання та обробка результатів.

Установка для перевірки принципу невизначеностей складається з джерела монохроматичного випромінювання (гелій-неоновий лазер), регульованої щілини та екрану, на якому спостерігається дифракційна картина.

1. За допомогою санчат, на яких встановлена щілина, необхідно домогтися того, щоб промінь лазера пройшов через її отвір і потрапив на екран. Змінюючи розмір (ширину) щілини Dх від 0,05 до 0,45 мм через кожні 0,05 мм, за допомогою лінійки і міліметрового паперу зробити 8-10 вимірювань ширини (2D) головного максимуму дифракційної картини, отриманої на екрані (див. рис. 5.2). Для збільшення точності вимірювань щілину необхідно встановити на відстані не менш 1 м від екрану. Ширину максимуму можна визначити по положенню дифракційних смуг, що огинають максимум.

2. Результати вимірювань ширини щілини D х та половини ширини головного максимуму D занести до таблиці.

3. Побудувати графік залежності півширини головного максимуму D від ширини щілини Dх, пам’ятаючи, що Dх є невизначеність місцеположення фотонів у площині екрану, а D характеризує невизначеність їхнього імпульсу.

4. Розрахувати компоненту імпульсу фотона Р_х за допомогою формули (5.5). При цьому значення довжини хвилі λ прийняти як середнє значення для видимого світла, а sin φ знайти з геометричного трикутника установки (tg φ , де l - відстань від щілини до екрану (див. рис. 5.2)).

5. Розрахувати невизначеність компоненти імпульсу DР_х за допомогою формули (5.6).

6. Порівняти значення DР_х та Р_х, зробити висновок щодо експериментального підтвердження співвідношення невизначеностей, використовуючи природнє припущення, що невизначеність (помилка при оцінці, похибка) деякої величини не може перебільшувати значення самої величини.

Контрольні питання.

1. Розкрити зміст гіпотези де Бройля.

2. Вивести формули для довжини хвилі де Бройля, фазової і групової швидкостей.

3. Пояснити, чому частинку не можна представити у вигляді хвильового пакету, утвореного хвилями де Бройля.

4. Якими експериментами було доказано, що окремі мікрочастинки володіють хвильовими властивостями? Розкрити сутність цих експериментів.

5. Чому хвилі де Бройля варто розглядати як хвилі імовірності?

6. Сформулювати співвідношення Гейзенберга для координати та імпульсу частинки. Які важливі наслідки випливають з цього співвідношення?

7. Для яких ще фізичних величин можна сформулювати співвідношення невизначеностей і в чому полягає їх фізичний зміст?

8. За допомогою співвідношення Гейзенберга розрахувати радіус боровської орбіти електрона.

9. Показати, що у квантовій механіці втрачає сенс поняття траєкторії руху електронів по орбітах.

10. Розповісти, яким чином можна експериментально перевірити співвідношення невизначеностей на прикладі дифракції фотонів.

11. Чи можна провести такий експеримент, наприклад, з електронами? Що у цьому випадку повинна являти собою експериментальна установка?