Среднее число заявок в очереди

проще

Пример 1.1.

В магазин приходят покупатели в среднем каждые две минуты. Работает один продавец, который обслуживает покупателя в среднем 2.5 минуты. Время прихода и обслуживания подчиняется экспоненциальному закону.

Определить:

- вероятность простоя продавца ;

- вероятность занятости продавца ;

- ероятность того, что в очереди ровно два покупателя ;

- вероятность наличия очереди в магазине .

Определим сначала интенсивности входного потока и обслуживания

При данных характеристиках система не имеет стационарного режима () и дальнейшие расчеты не имеют смысла.

Пусть новый продавец обслуживает покупателей в среднем 1.2 мин. Тогда — система стационарна.

Продавец простаивает, если в магазине нет ни одного покупателя и . Продавец занят, если в магазине есть хотя бы один покупатель, тогда .

В очереди будет находиться ровно две заявки, если в магазине будет находиться три покупателя (два в очереди, один на обслуживании) и .

Очередь образуется, если покупателей больше одного: .

1.6 Схема гибели и размножения

После преобразований уравнений Колмогорова очевидно, что вероятности того, что система не изменит свое состояние не влияют на вероятности состояний (образуют в уравнениях пару слагаемых с противоположными знаками). Поэтому в дальнейшем на графах переходов мы будем указывать только вероятности переходов типа и и указывать только интенсивности переходов. Тогда в общем случае для марковских систем мы получаем граф переходов следующего вида:

Рисунок 1.3 – Граф переходов

Здесь каждое из средних состояний связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний. Такой граф называется схемой гибели и размножения. Найдем один раз и навсегда для этой схемы вероятности состояний установившегося режима.

или ,

отсюда ,

аналогично

отсюда, .

Преобразуем

Учитывая, что получаем

Полученные формулы мы будем в дальнейшем использовать для расчета вероятностей состояний различных СМО.

1.7 Формула Литтла

Выведем еще одну важную формулу, связывающую (для стационарного режима) среднее число заявок в системе и среднее время пребывания заявки в системе.

Для любой СМО, если в системе установился стационарный режим, среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интенсивность .

Обозначим — число заявок, прибывших в СМО до момента ; —число заявок, покинувших СМО до момента . Обе функции случайны и меняются скачком (на 1) в моменты прихода и ухода заявок. Примерный вид функций приведен на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 - Функции X(t),Y(t)

Очевидно, что для любого момента : — число заявок, находящихся в СМО.

Рассмотрим большой интервал времени и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в СМО.

Этот интеграл — площадь заштрихованной фигуры, которая состоит из прямоугольников в 1 высотой и с основанием, равным времени пребывания в системе соответствующей заявки .

Тогда и ,

где - это среднее число заявок, пришедших за время . Если разделить сумму всех времен на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе : , тогда Откуда получаем формулу Литтла

Для любой СМО среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Аналогично выводится формула, связывающая среднее число заявок в очереди () и среднее время пребывания заявки в очереди (): .

1.8 Одноканальная СМО с отказами

Простейшая задача: СМО содержит один канал обслуживания; заявка, поступившая на вход системы и заставшая канал занятым, получает отказ. Граф переходов:

Рисунок 1.5 – Граф переходов

Тогда , .

Исходя из условия и начальных условий получаем

Для стационарного режима

Получим некоторые характеристики СМО.

Вероятность отказа: заявка получит отказ, если канал занят

Относительная пропускная способность ()равна среднему числу обслуженных заявок к общему числу поступивших заявок (показывает долю обслуженных заявок)