Пример 1.2

Имеется одна телефонная линия, по которой звонки поступают с интенсивностью в среднем 0.8 зв/мин. Среднее время телефонного разговора равно 1.5 мин. Если линия занята, то звонок получает отказ. Необходимо определить:

- вероятность отказа ;

- абсолютную пропускную способность ;

- среднее количество занятых каналов .

Так как СМО с отказами, то стационарный режим существует всегда.

Заявка получает отказ, если линия занята, и , (т.е. в среднем только 45% звонков получают обслуживание).

— телефонная линия занята в среднем всего лишь 55% от общего времени.

1.9 Одноканальная СМО с ограниченной очередью

Пусть длина очереди в одноканальной СМО ограничена числом . Тогда граф переходов будет иметь следующий вид:

Рисунок 1.6– Граф переходов

Используя формулы схемы гибели и размножения, получаем

, .

Среднее число занятых каналов .

Среднее число заявок в очереди

Среднее число заявок в системе .

Вероятность в отказе

Относительная пропускная способность

1.10 Многоканальные СМО с ожиданием

Рассмотрим случай одинаковых каналов обслуживания с интенсивностью обслуживания каждого прибора. При простейшем входном потоке и экспоненциальном времени обслуживания правило выбора канала не влияет на функционирование системы, т.е. на число заявок, находящихся в системе, на время ожидания.

Построим граф переходов

Рисунок 1.7 – Граф переходов

Интенсивность обслуживания возрастает с ростом числа занятых каналов. Как только все каналы оказываются занятыми заявками, интенсивность обслуживания в системе перестает расти, вновь пришедшие заявки становятся в очередь, ожидая освобождения какого-либо из каналов.

По графу строим уравнения вероятностей состояний

....

Учитывая

Получим основные характеристики системы

Абсолютная пропускная способность

отсюда, среднее число занятых каналов

Среднее число заявок в очереди

после преобразований .

Общее число заявок в системе:

Среднее время пребывания в системе

Все вышеперечисленные формулы справедливы только для стационарного режима. Для того, чтобы многоканальная система с бесконечной очередью имела стационарный режим, должно выполняться условие

1.11 Многоканальные СМО с отказами

Имеется обслуживающих каналов, каждый из которых доступен, когда он свободен, для каждой из поступающих в систему заявок. Если при поступлении очередной заявки все каналы заняты, то заявка получает отказ и теряется (). Граф переходов

Рисунок 1.8 – Граф переходов

Уравнения вероятностей состояний здесь такие же, как и для любой многоканальной СМО, только для условия

Заявка получает отказ в том случае, если все каналы заняты, тогда вероятность отказа

Относительная пропускная способность

Учитывая, что среднее число занятых каналов равно

Среднее время, проводимое заявкой в системе

Если в системе очередь, ограниченная числом мест (M / M / s / m), то заявка получит отказ только в том случае, когда в системе заняты все каналы обслуживания и все места в очереди ( заявок). Тогда вероятность отказа