Вопрос № 4 Сформулируйте и докажите условия равновесия системы сходящихся сил

Пусть на свободное твердое тело действует система сходящихся сил {F1 F2,...Fn). Сложив по правилу силового многоугольника N—1 этих сил, приведем данную систему сходящихся сил к системе двух сил (R1 Fn). Но, по первой аксиоме, две силы R1 и FN, приложенные к твердому телу, эквивалентны нулю, т.е. находятся в равновесии только в том слу­чае, когда они имеют равные модули и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т.е. если их равнодействующая R =R₁+Fn равна нулю. Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этой системы сил равнялась нулю, т.е. Это векторное условие равновесия системы сходящихся сил. Так как равнодействующая R* изображается вектором, замы­кающим силовой многоугольник, то геометрически условие равновесия системы сходящихся сил означает, что силовой многоугольник, по­строенный на векторах слагаемых сил данной системы, замкнут.

Выразим теперь это условие аналитически. Из предыдущего параграфа известно, что модуль равнодействующей системы сходящих сил определяется по формуле системы

Но при равновесии R*= О, а следовательно, равно нулю и подкоренное выражение формулы (2). Поскольку под знаком корня стоит сумма по­ложительных чисел, то R* может равняться нулю только в случае, если каждое из этих слагаемых равно нулю в отдельности, т.е. Таким образом, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические сум­мы проекций всех сил на каждую из трех выбранных любым образом координатных осей равнялись нулю. Имея плоскую систему сходящихся сил, всегда можно плос­кость, в которой расположены силы, принять за координатную плоскость хОу. Тогда третье условие в формулах (3) выполняетсятождест­венно, иусловия равновесия, в рассматриваемом случае, сведутся к двум следующим условиям:

Т.е. для равновесия плоской системы сходящихся сил необходи­мо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из двух выбранных любым образом координатных осей, лежа­щих в плоскости действия сил данной системы, равнялись нулю.