Энергия электрического поля

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Глава 2. Электростатика в веществе.

Энергия электрического поля.

Энергетический подход к рассмотрению взаимодействия электрических зарядов с одной стороны является весьма плодотворным по своим практическим применениям, а с другой, позволяет по-иному взглянуть на само электрическое поле как физическую реальность.

2.6.1. Энергия системы зарядов.

При элементарном перемещении электрических зарядов силы кулоновского взаимодействия совершают работу: , т.е. работа, производимая полем над электрическим зарядом, равна убыли потенциальной энергии этого заряда в рассматриваемом поле. Любое электростатическое поле можно рассматривать как суперпозицию полей, создаваемых какой-либо системой неподвижных точечных зарядов. Поэтому сказанное следует понимать так, что сама система электрических зарядов обладает потенциальной энергией, которая может изменяться при изменении конфигурации системы.

Для того, чтобы прийти к понятию энергии взаимодействия зарядов, рассмотрим сначала систему, состоящую из двух точечных зарядов 1 и 2. Найдем энергию взаимодействия зарядов двумя симметричными способами.

Пусть имеется неподвижный точечный заряд , создающий в окружающем пространстве электрическое поле. Перенесем заряд из бесконечности (где мы как обычно полагаем потенциал равным нулю) в точку с потенциалом , отстоящую на расстояние от первого заряда. Затем проделаем то же самое с первым зарядом, предварительно зафиксировав положение заряда 2. Поскольку кулоновское поле – потенциальное, то совершаемые работы (в данном случае работы против сил поля) будут равны

. (6.1)

Итак, получаем

, (6.2)

где энергия взаимодействия точечных зарядов 1 и 2.

Энергию можно представить в симметричной относительно обоих зарядов записи:

. (6.3)

Тогда потенциальная энергия системы электрических зарядов может быть записана в виде:

, (6.4)

где потенциал, создаваемый всеми остальными зарядами системы в точке, где находится ый заряд.

В случае непрерывного распределения зарядов эти формулы нетрудно обобщить, имея в виду наличие объемных и поверхностных зарядов: :

(6.5)

где потенциал поля, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом или на поверхности . Интегрирование может идти по нескольким областям. Хотя здесь речь шла только о сторонних (свободных) зарядах, формула (6.5) справедлива для любых зарядов.

Примеры:

а) Энергия уединенного проводника. Как обычно полагаем, что потенциал незаряженного проводника равен нулю (). Зарядим проводник, перенося на него заряд бесконечно малыми порциями , до значения . Сосчитаем работу, затраченную на сообщение проводнику заряда , т.е. его потенциальную энергию (потенциальную энергию взаимодействия находящихся на проводнике электрических зарядов). Сообщая проводнику заряд, мы изменяем его потенциал. Потенциал уединенного проводника в каждый момент определяется соотношением , поэтому приращение его потенциальной энергии при увеличении заряда проводника на составляет величину

Тогда потенциальная энергия уединенного проводника, заряженного до значения , равна

или, учитывая связь между зарядом, потенциалом и емкостью проводника, можем записать

. (6.6)

б) Энергия конденсатора. Конденсатор – устройство, позволяющее накапливать электрическую энергию. Заряд конденсатора осуществляется путем переноса заряда от одной пластины к другой. При этом под зарядом конденсатора мы понимаем абсолютное значение заряда , находящегося на одной из его пластин (обкладок).

Если положить в выражении (6.6)

где и потенциалы обкладок, и использовать формулу (5.5) для электроемкости воздушного () плоского конденсатора:

считая поле в конденсаторе однородным, т.е. , получаем

, (6.7)

Соотношение (6.7) очень важно – оно определяет энергию конденсатора как энергию электрического поля , заключенного в пространстве между его обкладками. Наряду с энергией можно ввести плотность энергии электрического поля конденсатора:

. (6.8)

2.6.2. Энергия электрического поля.

Можно показать, что и в общем случае энергия произвольной системы электрических зарядов может быть выражена через характеристику самого электрического поля, его напряженность , создаваемого этой системой:

. (6.9)

где интегрирование в правой части ведется по объему, где поле отлично от нуля.

Математическое отступление.

Если имеется векторное поле , то для него справедлива теорема Гаусса-Остроградского:

Введем некоторые скалярные функции и и представим вектор как .

Обозначим

где нормаль к поверхности .

Найдем дивергенцию вектора :

Тогда теорема Гаусса-Остроградского может быть записана в следующем виде:

. (6.10)

Воспользуемся теперь формулой (6.10), положив , где под будем, по-прежнему, понимать потенциал электрического поля. Тогда имеем

. (6.11)

Для дальнейших преобразований используем связь между потенциалом и напряженностью электрического поля

и уравнение Пуассона

Подставляя в уравнение (6.11), получаем

. (6.11а)

Выбирая поверхность интегрирования, мы должны принять во внимание, что на поверхности имеются особые точки или области расположения электрических зарядов, на которых электрическое поле меняется скачком, а функция терпит разрыв. Чтобы интеграл в правой части уравнения (6.11а) имел смысл эти области необходимо выделить.

Пусть внешняя поверхность, по которой ведется интегрирование, а замкнутая поверхность (или поверхности), обходящая заряженные поверхностные слои (т.е. именно те места, где существуют разрывы функции или, что то же самое, скачки напряженности поля ) и образующая полость под поверхностью .

Будем стягивать поверхность к поверхности , которая заряжена с поверхностной плотностью . Тогда

. (6.12)

Для поверхности направление нормали определяется точно так же, как и для поверхности – она должна быть внешней по отношению к объему в любой точке рассматриваемой поверхности. Т.о., получается, что нормаль имеет противоположные направления по разные стороны поверхности , что, конечно, неудобно.

Введем нормаль (направленную из области 1 в область 2 и внешнюю к поверхности ).

Тогда выражение, стоящее под знаком интеграла в правой части выражения (6.12), преобразуется следующим образом:

Имея в виду, что

, ,

и используя граничные условия (5.5), получаем

Таким образом,

. (6.13)

Теперь уравнение (6.11а) при наличии на поверхности областей расположения электрических зарядов, преобразуется к виду:

, (6.14)

где, по-прежнему, внешняя поверхность, а заряженные поверхностные области.

Интеграл «по » означает интегрирование по объему, ограниченному внешней поверхностью , а интеграл (или интегралы) по поверхности интегрирование по поверхностям, с распределенными на них с плотностью зарядами.

Для вычисления энергии электрического поля интегрирование должно проводиться по всему объему , где значение напряженности поля отлично от нуля (по «полному полю»), т.е. по пространству, ограниченному поверхностью , на которой поле вектора обращается в нуль (). Если поле распространяется на бесконечность, то и поверхность . Интегралы по бесконечной поверхности и бесконечному пространству можно брать только в том случае, если интегралы всех величин по поверхности стремятся к нулю (® 0) при стремлении площади поверхности к бесконечности.

Так как поверхность растет с увеличением её радиуса (расстоянием) , то, следовательно, подынтегральное выражение должно убывать быстрее, чем . Рассмотрим второе слагаемое в правой части (6.14): на бесконечности зарядов нет, поэтому

и , поэтому .

Отсюда

либо этот интеграл обращается в нуль на конечной поверхности, где поле равно нулю.

Далее мы везде будем полагать, что, по определению понятия “полное поле”, интегралы по ограничивающей полное поле поверхности обращаются в нуль.

Т.о., окончательно получаем формулу (6.9):

2.6.3. Собственная энергия.

Поместим электрический заряд на маленький уединенный шарик радиусом и сосчитаем потенциальную энергию заряженного шарика, воспользовавшись выражениями (6.4) и (6.9). Соответственно, получаем

1) , (6.15)

т.к. , поскольку в окружающем шарик пространстве других зарядов нет.

2) , (6.16)

где напряженность электрического поля, создаваемого зарядом в окружающем пространстве.

Мы получаем два взаимоисключающих ответа на один и тот же вопрос. Почему?

Дело в том, что выражение (6.16) для энергии шарика, записанное через электрическое поле, учитывает так называемую собственную энергию заряда. В принципе, мы могли получить тот же результат и из (6.15), если бы приписали заряду конечный объем, затем мысленно разбили бы весь заряд на элементарные заряды и подсчитали энергию взаимодействия между элементарными зарядами по формуле (6.15). При таком подходе мы и получили бы отличную от нуля () собственную энергию заряда . Именно так мы и поступали, вычисляя энергию уединенного проводника.

Собственная энергия может быть определена как работа сил взаимного отталкивания элементарных зарядов , образующих заряд , которую они бы произвели, если бы все части заряда разлетелись на бесконечное расстояние.

Суммируя сказанное, отметим, что выражения (6.4) и (6.9), или (6.15) и (6.16), отличаются по своему содержанию. Расчет по формуле (6.9) позволяет получить полную энергию системы электрических зарядов, включающую в себя как энергию взаимодействия, так и собственную энергию зарядов системы, в то время как использование выражения (6.4) позволяет найти только энергию взаимодействия зарядов.

Игнорирование этого обстоятельства может явиться источником грубых ошибок.

2.6.4. Полная энергия.

Найдем полную энергию системы, состоящей из двух точечных зарядов и .

Пусть поле, создаваемое в окружающем пространстве зарядом , описывается вектором , а поле, создаваемое зарядом – . Тогда по принципу суперпозиции полное поле равно

Энергия рассматриваемой системы зарядов:

. (6.17)

Здесь и - собственные энергии зарядов и , соответственно; - энергия взаимодействия зарядов и :

. (6.18)

Из неравенства , следует, что

(6.19)

Т.о., положительная собственная энергия зарядов всегда больше или равна взаимной энергии зарядов, которая, в отличие от собственной, может быть как положительной, так и отрицательной.

Примечания.

1) при вычислении работы по перемещению зарядов, не меняющих размеров и формы, собственная энергия может рассматриваться как аддитивная добавка к взаимной энергии (т.е. ее можно не учитывать);

2) энергия электростатического поля не обладает свойством аддитивности: , но .

2.6.5. Энергия электрического поля в диэлектриках.

Энергия электростатического поля в диэлектрике выражается через векторы напряженности поля и электрической индукции :

, (6.20)

а плотность энергии равна

. (6.21)

Покажем это. Если нет поверхностных зарядов (), то векторы и непрерывны во всем пространстве и их можно дифференцировать. При наличии поверхностных зарядов (например, на поверхности ), дифференцирование векторов можно вести во всем пространстве за исключением областей пространства вокруг этих поверхностных зарядов.

Воспользуемся следующим выражением:

. (6.22)

Вспоминая, что , получаем

. (6.23)

Теперь, используя (6.23), приведем выражение (6.20) к виду:

Далее преобразуем интегралы в правой части выражения, используя

теорему Гаусса - Остроградского:

причем, как и в параграфе 2.6.2, первый интеграл, стоящий в правой части, берется по наружной поверхности , а второй – по замкнутой поверхности , окружающей слои поверхностных зарядов,

и теорему Гаусса для вектора в дифференциальной форме ():

Получаем

Проведем интегрирование по полному полю, и, полагая, что ограничивающая его внешняя поверхность , а поверхность (поверхности) стягивается к слою поверхностных зарядов , т.е. . При конечной системе зарядов интеграл по внешней поверхности , при , как было показано выше, стремится к нулю: , а интегралы по вспомогательным поверхностям в пределе равны