2015-10-16
277
«Конкуренция двух видов»
Перечень задач по выполнению работы:
1. Задание дифференциальных уравнений.
2. Нахождение стационарных решений.
3. Исследование устойчивости стационарных решений.
4. Нахождение поля направлений.
5. Постановка задачи Коши и нахождение фазового портрета.
6. Графическое изображение решения задачи Коши.
В начале работы необходимо запустить программу Maple и выполнить следующие действия.
Подключение необходимых библиотек.
> restart:
> with(plots):
> with(DEtools):
Описание процедуры, цель которой выяснение вопроса устойчивости положения равновесия (x0,y0)
Использовать метод линеаризации.
> steady:=proc(x0,y0,a1,b1,c1,a2,b2,c2) local f1,f2,f1_taylor,f2_taylor,A,sob; f1:=unapply(subs({r_1=a1,K_1=b1,a_12=c1,x=u+x0,y=v+y0},f_1),u,v);
> f2:=unapply(subs({r_2=a2,K_2=b2,a_21=c2,x=u+x0,y=v+y0},f_2),u,v);
> readlib(mtaylor):
> f1_taylor:=mtaylor(f1(u,v), [u,v],2);f2_taylor:=mtaylor(f2(u,v), [u,v],2);
> coeff(f1_taylor,u);
> A:=linalg[matrix](2,2,[coeff(f1_taylor,u),coeff(f1_taylor,v),coeff(f2_taylor,u),coeff(f2_taylor,v)]);
> sob:=linalg[eigenvalues](A);
> if sob[1]<=0 and sob[2]<=0 then 1:else 0:fi;
> end:
1 ШАГ. Задание общего вида правых частей Д. У. системы и необходимых характеристик: удельные скорости роста (r_i, i=1,2), соотношения между емкостью среды i-того вида при отсутствии конкурента (K_i, i=1,2) и коэффициентом относительного влияния друг на друга (a_12, a_21).
> f_1:=r_1*x*(1-x/K_1-a_12*y/K_1);
> f_2:=r_2*y*(1-y/K_2-a_21*x/K_2);
> L_1:=(K_1-x)/a_12;
> L_2:=K_2-a_21*x;
2 ШАГ. Задание конкретных значений характеристик модели.
(Первый вид всегда вытесняет второй.)
L_1(red) целиком выше L_2(blue)
> L_11:=plot(subs({K_1=4,a_12=.1},L_1),x=0..10,y=0..50):
> L_22:=plot(subs({K_2=6,a_21=4},L_2),x=0..10,y=0..50,color=blue):
> display({L_11,L_22},title=`Red-L_1, blue-L_2`);
> f_11:=unapply(subs({r_1=2,K_1=4,a_12=.1},f_1),x,y);
> f_22:=unapply(subs({r_2=1,K_2=6,a_21=4},f_2),x,y);
3 ШАГ. Нахождение положений равновесия, путем решения системы алгебраических уравнений.
> fixed:=solve({f_11(x,y)=0,f_22(x,y)=0},{x,y});
4 ШАГ. Исследование полученных на предыдущем шаге и удовлетворяющих физическому смыслу задачи положений равновесия на предмет устойчивости.
