Вопрос 3. Операции с объемами понятия

Необходимо усвоить, что подобно тому, как в математике проводятся различные операции над числами, такие, как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и т.д., в логике также сформулированы основные принципы проведения операций над объемами понятий, то есть классами. Поскольку объемы понятий суть множества, над ними можно осуществлять те же операции, что и над множествами. Они названы булевыми в честь английского логика Дж.Буля, который построил особую алгебру логики. В числе этих операций пересечение классов, объединение классов, дополнение к классу, вычитание классов.

Допустим, даны два понятия хА(х) и хВ(х), таких, что объем первого понятия есть WxA(x), объем второго понятия есть WxB(x). Тогда операции с объемами понятия будут иметь следующий вид.

Пересеченuе двух объемов понятий. Это операция, в результате применения которой к объемам понятий WxA(x) и WxB(x) образуется класс WхА(х) ∩ WxB(x), элементами которого являются те и только те предметы, которые одновременно входят как в класс WxA (х), так и в класс WxB(х). Эта операция обозначается знаком ∩.

Объединение двух объемов понятий. Это операция, в результате применения которой к объемам понятий WxA(x) и WxB(x) образуется класс WхА(х) È WxB(x), элементами которого являются те и только те предметы, которые одновременно входят по крайней мере в один из объемов этих понятий. Она обозначается знаком «È».

Дополнение к объему понятия (взятие дополнения) – это операция, в результате применения которой к объему понятий WxA(x) образуется класс ┐ WхА(х), элементами которого являются те и только те предметы из области значений переменной х, которые одновременно не входят в класс WxA(x).

Вычитание понятий – это операция, в результате применения которой к объемам понятий WxA(x) и WxB(x) образуется класс WхА(х) \ WxB(x), элементами которого являются те и только те элементы класса WхА(х), которые одновременно не являются элементами класса WxB(x). Она обозначается знаком «\».

Особенность применения к объемам понятий булевых операций - объединения, пересечения, разности множеств, взятия дополнения к множеству - состоит в том, что в результате получается множество, которое является объемом нового, сложного понятия, образуемого из содержаний исходных. Так, дополнением к объему понятия является объем отрицательного понятия. Объединение объемов понятий дает объем разделительного понятия, пересечение их объемов - объем соединительного понятия, результатом теоретико-множественного вычитания второго объема из первого будет объем соединительного понятия.

Кроме булевых операций к понятиям применяются также операции обобщения и ограничения, в основании которых лежат родо-видовые отношения. Например, из двух понятий «студент» и «студент второго курса» первое является родовым, а второе видовым, объем первого понятия больше, чем объем второго и, соответственно закону обратного отношения, содержание родового понятия является частью содержания видового понятия.

Обобщением понятия называется переход от непустого понятия с данным объемом к непустому понятию с более широким объемом, но меньшим содержанием (например, понятие «роман, написанный немецким писателем» можно обобщить до понятия «роман, написанный европейским писателем»), иными словами, это переход от видового понятия к родовому. Обратный переход от непустого понятия с данным объемом к более узкому по объему непустому понятию с большим содержанием называют ограничением понятия (например, в результате ограничения понятия «роман, написанный русским писателем» можно получить, например, понятие «роман, написанный русским писателем в XX веке»). Пределом ограничения являются единичные понятия.