double arrow

Возведение в степень.

1

Значащие цифры и правила округления

Измеряя какую-либо величину, экспериментатор получает набор цифр. Сколько же цифр надо оставить в числе, чтобы оно имело физический смысл? Принято результаты экспериментов и расчетов выражать только значащими цифрами.

Значащие цифры – это все достоверно известные цифры плюс первая из ГО недостоверных, т.е. все результаты следует округлять до первой недостоверной цифры.

ВС

Для оценки недостоверности результатов аналитических определений необходимо учитывать реальные возможности используемого метода или методики. В качестве статистических критериев может служить, например, стандартное отклонение или доверительный интервал. В случае отсутствия таких сведений, недостоверность принимают равной +-1 в последней значащей цифре.

Пример 1. Рассмотрим следующие величины: 153 И7; 153,7; 15,37; 1,537. Все они содержат по 4 значащие цифры. И все следующие величины – 0,001075; 0,01075; 1,075; 10,75; 1,075∙10-3 и 10,72∙10-2 – тоже содержат 4 значащие цифры.

Нуль в числах может быть значимым и незначимым.

· Нули, стоящие в начале числа, всегда незначимы и служат лишь для указания места запятой в десятичной дроби. Например, число 0,005 содержит лишь одну значащую цифру.

· Нули, стоящие между цифрами, всегда значимы. Например, в числе 0,30В6Е три значащие цифры.

· Нули в конце числа могут быть значимы или незначимы.

· - Нули, стоящие после запятой в десятичной дроби, считаются значимыми. Например, в числе 4000,0 пять значащих цифр.

· Нули в конце целого числа могут означать значащую цифру, а могут просто указывать порядок величины.

Например, в числе 500 значащих цифр может быть: одна (5), две (5 и 0), три (5, 0 и 0). Чтобы избежать неопределенности, рекомендуется в таких случаях представить число в нормальном виде, т.е. в виде произведения числа, содержащего только значащие цифры, на n∙10n. Например, если в числе 500 одна значащая цифра, его следует изобразить как 5∙102, если две значащие цифры – 5,0∙102, если три значащие цифры – 5,00∙102.

Пример 2. Представить в нормальном виде объем колбы вместимостью 2000 мл, если точность определения объема 10 мл.

Р е ш е н и е:

Погрешность измерения содержится в третьей цифре числа, поэтому последний нуль незначим. Число значащих цифр равно трем, следовательно, в нормальном виде объем колбы следует записать следующим образом: 2,00∙103 мл или 2,00 л.

При округлении результатов, если за первой недостоверной цифрой следует цифра 5, округление проводят в сторону ближайшего четного числа.

Например, число 10,245 следует округлить до 10,24, а число 10,255 – до 10,26. Рекомендуется округлять конечный результат после арифметических действий.

Сложение и вычитание.

Значимость суммы или разности определяется наименьшим числом десятичных знаков.

Например, при сложении чисел 28,3; 5 и 0,46 значимость определяется недостоверностью числа 5 и, следовательно, сумму чисел 33,76 следует округлить до 34

Числа, содержащие степени, преобразуют, приводя показатели степеней слагаемых к наибольшему. Например, при сложении чисел 2∙10-4, 6,00∙10-2 и 2,5∙10-3 их надо представить следующим образом: 0,02∙10-2, 6,00∙10-2, 0,25∙10-2.

Используя правило значимости суммы чисел, получаем 6,27∙10-2.

Пример 3. Какова концентрация хлорид-ионов в растворе, полученном при сливании

равных объемов растворов, содержащих 2∙10-5 М хлорида натрия, 0,33∙10-4 М хлорида калия

и 5,0∙10-6 М соляной кислоты?

Р е ш е н и е:

Сначала преобразуем числа так, чтобы уравнять показатели степеней, приводя их к наибольшему:

2∙10-5 = 0,2∙10-4,

0,33∙10-4 = 0,33∙10-4,

5,0∙10-6 = 0,050∙10-4.

Складываем числа 0,2∙10-4 + 0,33∙10-4 + 0,050∙10-4 = 0,580∙10-4.

Число значащих цифр суммы должно определяться количеством их в числе 0,2∙10-4, имеющем наименьшее число значащих десятичных знаков. Поэтому округляем полученную сумму до первой цифры после запятой, т.е. до 0,6∙10-4. В конечном объеме концентрация С хлорид-ионов составляет

0,6∙10-4 / 3 = 0,2∙10-4 М.

Умножение и деление.

Для оценки значимости произведения (или частного) обычно пользуются следующим правилом:

Значимость произведения (или частного) определяется значимостью сомножителя (делимого или делителя) с наименьшим числом значащих цифр.

Например, перемножение чисел 2,7 и 3,45 дает произведение, содержащее две значащие цифры – 9,3.

Пример 4. При определении меди в сплаве иодометрическим методом на титрование аликвотной части 10,00 мл раствора, полученного растворением навески 0,2000 г в объеме 100,0 мл, израсходовано 8,53 мл 0,0100 М раствора тиосульфата натрия. Вычислите содержание меди в сплаве. Молярная масса (Cu) 63,54 г/моль.

ВС

Р е ш е н и е:

Содержание меди рассчитывают по формуле:

где VТ – объем раствора титранта (тиосульфата натрия), пошедший на титрование, мл,

NТ – нормальность раствора титранта (тиосульфата натрия), моль-экв/л,

MCu– молярная масса меди, г/моль,

 – объем колбы, мл,

– объем аликвотной части раствора, мл,

 – масса навески сплава.

Наименьшее число значащих цифр содержится в числе 8,53, поэтому округляем результат до сотых долей процента: 27,10 %.

Возведение в степень.

При возведении числа в степень относительная недостоверность результата увеличивается в число раз, равное степени.

Например, при возведении в квадрат она удваивается.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  


1

Сейчас читают про: