Мощность: средняя и мгновенная

Автор: – Логика наших рассуждений будет та же, что и при изучении средней и мгновенной скорости. Рассмотрим работу как функцию времени. Пусть А (t) – работа, совершенная за время t. А (t+Δt) – работа, совершенная за время (t+Δt). Тогда [ А (t+Δt) – А (t)]/Δt – средняя мощность за промежуток времени от t до (t+Δt). Предел последовательностей значений таких средних мощностей при Δt→0 есть мгновенная мощность, т. е. мощность в момент времени t есть производная от работы по времени.

N (t)= =А’(t) (2.10.1)

Выведите частный случай, когда мощность не зависит от времени.

Студент: – N = A /t.

Автор: – Приведите пример, когда мощность постоянна.

Студент: – Это бывает, когда постоянна сила, действующая на тело.

Автор: – Неверно! Смотрите сами. Предположим, что сила, ускоряющая тело, постоянна со временем. Тогда из (2.10.1) следует, что

N (t)= [FS(t+Δt)– FS(t)]/Δt=F [S(t+Δt)–S(t)]/Δt= FV.

Или, используя правила вычисления производных:

N(t)=А'(t)=(FS)'=FS'=FV. (2.10.2)

Видим, что мощность зависит не только от силы, но и от скорости, которая при равноускоренном движении является функцией времени.

Заметим, что выражение для мгновенной мощности N(t)=F(t)·V(t) является справедливым для любого механического движения. Доказательство опирается на знания интегрального исчисления, и мы его пропускаем.

Для тренировки разберем одну интересную и практическую задачу 2.5.

Автомобиль массой m трогается с места. Коэффициент трения колес о дорогу k. Обе оси автомобиля ведущие. Найдите зависимость скорости автомобиля от времени. Мощность двигателя N.

Студент: – Я не понимаю, зачем в условии сказано про ведущие оси. Мы никогда с этим не сталкивались.

Автор: – Это связано с расчетом силы трения. Можно с хорошей точностью принять, что масса автомобиля равномерно распределена на обе оси. Раз обе оси ведущие, значит, сила трения скольжения равна произведению всей массы автомобиля на коэффициент трения. В случае если ведущей является только одна ось, то на нее приходилась половина массы автомобиля и сила трения, толкающая автомобиль вперед вычислялась бы так: kmg /2. Отметим, что здесь принята максимально возможная сила трения скольжения, т. е. считаем, что колеса автомобиля пробуксовывают на дороге. Правда, на собственных автомобилях водители так не стартуют.

Студент: – Тогда по условию нашей задачи получается, что ускоряет автомобиль только сила трения, которая равна kmg. Отсюда легко получатся ответ: автомобиль двигается равноускоренно и скорость зависит от времени так: V(t)= a t= kgt.

Автор: – Это справедливо только отчасти. Вспомните выражения для мощности (2.10.2). При ограниченной мощности скорость не может неограниченно возрастать. Поэтому должен Вам дать две подсказки: 1) найдите предельное время, до которого Ваш ответ будет справедлив; 2) затем воспользуйтесь энергетическими соображениями.

Студент: – Раз предельная мощность N, то из (2.10.2) получим:

N=FV(t)=kmg kgt.

Отсюда предельное время t₀=N/(mk²g²).

Автор: – Дальше мощности не хватает, чтобы поддерживать равноускоренное движение. Как поступим?

Студент: – В дальнейшем за какой-то промежуток времени Δt=t–t₀ двигатель совершит работу А=NΔt, которая пойдет на увеличение кинетической энергии. Сначала найдем кинетическую энергию автомобиля в момент времени t₀:

mV₀²/2=m[kgN/(mk²g²)]²/2= .

Изменение кинетической энергии равно

mV²/2–mV₀²/2 = А=NΔt= N(t – t₀),

V²= (t – ),

V= .

Автор: – Это правильный ответ. Как видим, сначала зависимость скорости от времени линейная, затем корневая. Комбинируя обе эти ситуации, представим ответ в окончательном варианте:

◄V(t)=kgt при t≤ t₀=N/(mk²g²),

V(t)= при t> t₀►.

История.

Эразм Дарвин считал, что время от времени следует производить самые дикие эксперименты. Из них почти никогда ничего не выходит, но если они удаются, то результат бывает потрясающим. Дарвин играл на трубе перед своими тюльпанами. Никаких результатов.