Основное уравнение динамики вращательного движения

Содержание

1. Цель работы............................................................................................... 4

2. Теоретическая часть................................................................................. 4

2.1. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент силы, момент инерции............................................................. 4

2.2. Применение основного уравнения динамики

вращательного движения к маятнику Обербека................................ 6

3. Экспериментальная часть........................................................................ 8

3.1. Приборы и принадлежности.......................................................... 8

3.2. Описание установки......................................................................... 8

4. Требования к технике безопасности...................................................... 9

5. Порядок выполнения работы............................................................... 10

6. Требования к отчету............................................................................... 12

7. Контрольные вопросы........................................................................... 12

Список литературы............................................................................... 13

Лабораторная работа № 3

Изучение законов вращательного движения твердого тела

Цель работы

1.1. Проверка основного закона динамики вращательного движения.

1.2. Определение момента сил трения.

1.3. Проверка зависимости момента инерции грузов от расстояния до оси вращения.

Теоретическая часть

Основное уравнение динамики вращательного движения.

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг оси ОО ^/ (рисунок 2.1).

Разобьем его на множество малых элементов. Рассмотрим один из элементов массой m_i, расположенный на расстоянии r _i от оси вращения. Пусть на него действует сила F_{i t}, направленная по касательной к траектории движения элемента.

Моментом силы относительно оси называют физическую величину, численно равную произведению силы на плечо. Плечом силы относительно данной оси называют кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы.

Так как вращающий момент задается тангенциальной составляющей силы, то он равен

F_{i t} · r_i = m_i · a_{i t} · r_i, (2.1)

где a_{i t} - тангенциальная составляющая линейного ускорения.

Учитывая, что линейное и угловое ускорения связаны между собой соотношением

a _t = e r, (2.2)

уравнение (2.1) можно переписать в виде

F_{i t} · r_i = m_i · e · r_i ². (2.3)

Такие равенства можно написать для всех элементарных масс, просуммировав их получим

.

Угловое ускорение e постоянно для всех элементарных масс, поэтому его можно вынести из под знака суммы

(2.4)

Величина представляет собой сумму моментов сил, действующих на все элементы твердого тела, то есть это полный момент сил относительно оси ОО ^/, действующих на твердое тело.

Величину называют моментом инерции элемента материальной точки относительно оси ОО ^/. Сумму всех моментов инерции отдельных элементарных масс

(2.5)

называют моментом инерции тела относительно данной оси ОО ^/. Вводя полный момент сил М и момент инерции J, перепишем равенство (2.4) в виде

.

или в векторной форме

. (2.6)

Из (2.6) следует, что момент силы относительно оси сонаправлен с вектором углового ускорения . При вращении тела вокруг неподвижной оси, направлен вдоль оси вращения, в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости (при ускоренном движении сонаправлен с , при замедленном – противоположен ему) (рис. 2.2).

Формула (2.6) и есть основное уравнение динамики вращательного движения – второй закон Ньютона для вращательного движения: момент сил, вращающих тело относительно данной оси, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение тела.

Сравнивая (2.6) с математическим выражением второго закона Ньютона для поступательного движения

,

можно заключить, что при вращательном движении роль силы F выполняет момент силы М, роль массы – момент инерции. Следовательно, момент инерции является мерой инертности вращающегося тела.