V. Вывод формулы для определения момента инерции

Пусть при вращении диск поднялся, на высоту h =h₁ - h₂ (рис. 1). Тогда приращение потенциальной энергии равно

.

При опускании нижнего диска потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию вращательного движения

,

где I₀ - момент инерции нижнего диска, w - угловая скорость диска.

В момент прохождения диском поло­жения равновесия угловая скорость w, а, следовательно, и кинетическая энергия, принимает максимальное значение, т.е. w = w₀.

Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энер­гии для колеблющегося диска можно записать:

. (2)

Угловая скорость w, являющаяся первой производной от сме­щения j по времени, может быть записана

Максимальное значение угловой скорости равно:

. (3)

На основании выражений (2) и (3) имеем:

(4)

Найдем величину h при повороте диска на малый угол j₀, считая, что h₁ + h₂ » 2l:

. (5)

Из рис.1 ясно, что

и .

Подставляя значение и в (5), получим:

.

Вследствие малости угла j₀ синус можно заменить аргумен­том:

. (6)

Подставив выражения (3) и (6) в формулу (2), получим:

, или

, (7)

где - постоянная установки.