Основні теоретичні відомості

Фізичним маятником називається тверде тіло, яке може коливатись відносно нерухомої точки, яка не збігається з його центром мас, під дією сили тяжіння.

У положенні рівноваги центр мас маятника розміщується на вертикалі, яка проходить через центр мас. При відхиленні маятника від положення рівноваги на деякий кут (рис.13.1) виникає момент сили, який намагається повернути маятник у положення рівноваги. У випадку малих значень кута , коли можна вважати, що , цей момент (рис.13.1)

, (13.1)

де m – маса маятника; – відстань від осі до центра мас.

Знак «–» в (13.1) означає, що момент М спрямований протилежно кутовому зміщенню .

Позначимо момент інерції маятника відносно точки підвісу (осі коливання) І та візьмемо до уваги, що . Тоді (113.1) набуде вигляду

, (13.2)

або

, (13.3)

де . (13.4)

Розв’язавши диференціальне рівняння (13.3), дістанемо рівняння коливального руху маятника

, (13.5)

де А – амплітуда коливань маятника (найбільше відхилення маятника від положення рівноваги);

– циклічна частота; t – час; – фаза коливання; – початкова фаза

(при t =0).

Час, за який фізичний маятник здійснює повне коливання, називається періодом коливань Т.

Циклічна частота пов’язана з періодом коливань співвідношенням

, (13.6)

З цього випливає, що циклічна частота – це число коливань за 2 секунд. Період коливання фізичного маятника , або з урахуванням (13.4)

. (13.7)

Фізичний маятник можна розглядати як такий, що складається з матеріальних точок, що коливаються, а кожну точку – як окремий математичний маятник з відповідним періодом коливань. При цьому можна вказати таку точку, яка буде мати такий період коливань, що відповідатиме періоду коливань фізичного маятника. Звідси випливає, що зведена довжина фізичного маятника – це довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника.

Відношення вимірюється в одиницях довжини і називається зведеною довжиною фізичного маятника .

Таким чином, підставляючи в (13.7)

, (13.8)

дістанемо

. (13.9)

Формула (13.9) така ж сама, як і формула для періоду коливань математичного маятника при його довжині .

Згідно з теоремою Штейнера момент інерції маятника відносно осі , що знаходиться на відстані від центра мас,

, (13.10)

де - момент інерції цього ж маятника відносно осі, що проходить через його центр мас і паралельна до осі .

З урахуванням теореми Штейнера формула (13.8) для зведеної довжини фізичного маятника набуває вигляду

(13.11)

З (13.11) видно, що зведена довжина, а відповідно, і період коливань фізичного маятника прямує до нескінченності при . Іншими словами, при підвішуванні фізичного маятника в точці, що збігається з його центром мас, маятник коливатися не буде. У міру віддалення точки підвісу маятника від центра мас (у міру збільшення ) його зведена довжина (а значить, і період коливань) спочатку зменшується, досягаючи мінімуму, а потім монотонно зростає (рис.13.2).