Задачи для самостоятельного решения

5.1. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило за t = 1 мин частоту вращения от n₁ = 300 об/мин до n₂ = 180 об/мин. Момент инерции колеса J = 2 кг^.м². Найти угловое ускорение e колеса, момент сил торможения, число оборотов, сделанных колесом за 1 мин. Ответ: e = -0,314 в/с; М = -0,628 Дж; N = 210 оборотов.

5.2. Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 оборотов. Работа сил торможения 44,4 Дж. Найти момент инерции J вентилятора, момент сил М торможения, угловое ускорение e, время t, за которое вентилятор сделает 5 оборотов. Ответ: e = 0,09 об/с²; М = 0,009 Н^.м; t = 3,6 с; J = 1 кг^.м².

5.3. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D = 75 см и массой m = 40 кг приложена сила F = 1 кН. Определить угловое ускорение и частоту вращения маховика через t = 10 с после начала действия силы, если радиус шкива R = 12 см. Силой трения пренебречь. Ответ: e = 133,3 рад/с²; n = 212,3 об/с.

5.4. На обод маховика диаметром D = 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Определить момент инерции маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за t = 3 с приобрёл угловую скорость 9 рад/с. Ответ: J = 6 ^.10^-4 кг×м².

5.5. Нить с привязанными к её концам грузами массами m₁ = 50 г и m₂ = 60 г перекинута через блок диаметром D = 4 см. Определить момент инерции блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение e = 1,5 рад/c². Трением пренебречь. Ответ: J = 6 ^.10^-4 кг×м².

5.6. Определить момент силы, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой n = 12 Гц, чтобы он остановился за t = 8 с. Диаметр блока D = 30см, масса блока m = 6 кг равномерно распределена по ободу. Ответ: М = -1,27 Н×м.

5.7. Блок, имеющий форму диска, массой m = 0,4 кг вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m₁ = 0,3 кг и m₂ = 0,7 кг. Определить силы натяжения нити Т₁ и Т₂ по обе стороны блока. Ответ: Т₁ =1,8 Н; Т₂=4,1 Н.

5.8. Вывести формулу момента инерции тонкого стержня массой m и длиной l относительно центра масс и относительно конца стержня. Ответ: .

5.9. На горизонтальную ось насажен маховик и лёгкий шкив радиусом R = 5 см. На шкив намотана нить, к которой привязан груз массой m = 0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошёл путь S = 1,8 м за t = 3 с. Определить момент инерции маховика. Сколько оборотов сделал маховик за это время? Ответ: J = 2,5 ^.10^{-2 кг.}м²; N = 5.

5.10. Две гири массами m₁ = 2 кг и m₂ = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок массой m = 1 кг. Найти ускорение, с которым движутся гири, и натяжение нитей, к которым подвешены гири. Трением пренебречь. Ответ: Т₁ = 14,02 Н; Т₂= 12,61 Н.

5.11. На барабан массой m = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m₁ = 2 кг. Найти ускорение а груза. На какую высоту h опустится груз за t = 3 с? Сколько оборотов сделал барабан за это время? Трением пренебречь. Ответ: а = 1,6 м/с²; h = 7,2 м; N = 0,5 оборотов.

5.12. Через неподвижный блок массой m = 2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m₁ = 0,3 кг и m₂ = 0,5 кг. Определить силы натяжения нитей Т₁ и Т₂, момент инерции блока J. На какую высоту опуститься больший груз за t = 2 с? Ответ: Т₁ = 3,675 Н; h = 4,9 м.

5.13. Две гири разного веса соединены нитью и перекинуты через блок, момент инерции которого J = 50 кг^. м² и радиус R = 0,2 м. Блок вращается с трением. Момент сил трения M = 98,1 Н^.м. Найти разность натяжения нитей по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с постоянным угловым ускорением e = 2,36 рад/с². Ответ: DТ = 200 Н.

5.14. К краю стола прикреплён блок. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Один груз движется по поверхности стола, а другой – вдоль вертикали вниз. Определить коэффициент трения между поверхностями груза и стола, если масса каждого груза и масса блока одинаковы и грузы движутся с ускорением a = 3,6 м/с². Ответ: m = 0,083.

5.15. Маховое колесо, момент инерции которого J = 245 кг^.м², вращается с частотой 20 об/с. После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав 1000 оборотов. Найти момент сил трения и время, прошедшее от момента прекращения действия вращающего момента до остановки колеса. Ответ: М_тр= 308 Н^.м; t = 100 с.

5.16. По ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой m = 1 кг. На какое расстояние должен опуститься груз, чтобы колесо получило частоту вращения n = 60 об/мин. Момент инерции колеса составляет J = 0,42 кг×м², радиус шкива R = 10 см. Ответ: h = 0,865 м.

5.17. Стальная и медные проволоки длиной l₁ = 1 м и l₂ = 0,6 м и сечением s = 1,5 см² сварены своими концами. К другим концам проволоки приложена растягивающая сила F = 400 Н. Вычислить удлинение проволок. Ответ: Dl = Dl_с+Dl_м= 2,54^.10^{-5 м.}

5.18. Диск радиусом R = 20 см и массой m = 5 кг вращается с частотой n = 8 об/с. При торможении он остановился через t = 4 с. Определить тормозящий момент М. Ответ: М = 5 Н×м.

5.19. На маховик массой m = 70 кг намотана верёвка. К свободному концу верёвки привязан груз массой m₁ = 4 кг. Какова будет скорость u груза, когда он под действием силы тяжести опуститься на 10 м. Начальная скорость груза равна нулю. Трением пренебречь. Ответ: u = 4,48 м/с.

5.20. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью u = 20 м/c. Траектория мяча проходит на расстоянии 0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью w начнёт вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции человека и скамьи J = 6 кг×м²? (Ответ: w = 5,16 рад/с)

5.21. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R = 2 м, стоит человек массой m = 80 кг. Масса платформы 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью a будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль её края со скоростью u = 2м/с относительно платформы. Ответ: w = 0,33 с^-1.

5.22. Человек массой m = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m₁ = 100 кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом R = 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы u = 4 км/ч. Платформа – однородный диск радиусом R = 10 м, человек – точечная масса. Ответ: n = 0,027 Гц.

5.23. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой n₁ = 20 об/мин. В центре её – человек с гирями в расставленных руках. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции J от 2,94 до 0,98 кг×м². Платформа – однородный диск. Ответ: n = 20,96 об/мин.

5.24. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n₁ = 10 об/мин. Человек массой m₁ = 60 кг стоит на краю платформы. С какой частотой начнёт вращаться платформа, если человек перейдёт от края к центру? Ответ: n = 22 об/мин.

5.25. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень, длиной l = 2,4 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с частотой J = 10 Гц. С какой частотой будет вращаться скамья с человеком, если он повернёт стержень в горизонтальном направлении? Суммарный момент инерции человека и скамьи 6 кг×м². Ответ: n = 0,61 с^-1.

5.26. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально оси вращения скамьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой J = 10 Гц. Радиус колеса R = 20 см, масса m = 3 кг. Найти частоту вращения скамьи, если человек повернёт стержень на 180°. Суммарный момент инерции человека и скамьи 6 кг×м². Масса колеса равномерно распределена по ободу. Ответ: n₂ = 0,4 с^-1.

5.27. На барабан радиуса R = 20 см с моментом инерции J = 0,1 кг^.м² намотан шнур с грузом массой m = 0,5 кг на конце. До начала вращения барабана высота груза над полом h = 1 м. Через какое время груз опустится до пола? Чему равна сила натяжения нити? Ответ: t = 1,2 с; Т = 16,6 Н.

5.28. На барабан радиуса R = 4,0 см намотан шнур с грузом массой m = 8 кг на конце. Найти момент инерции барабана и его угловое ускорение, если груз опускается с ускорением a = 0,3 м/с². На какую высоту опустится груз за t = 2 с и сколько сделает оборотов барабан за это время? Ответ: J = 0,41 кг^.м²; e = 7,5 с^-2; h = 0,6 м; N = 2,4 оборота.

5.29. На конце стола укреплён блок массой m = 1 кг. Через блок перекинуты соединённые нитью две гири массой m₁ и m₂, по 1 кг. Коэффициент трения гири, скользящей по поверхности стола, 0,1. Вторая гиря движется вдоль вертикали вниз. Найти ускорения гирь, силы натяжения нитей. Блок – однородный диск. Трением в блоке пренебречь. Ответ: а =1,91 м/с²; Т₁ = 5,77 Н; Т₂ = 2,88 Н.

5.30. Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением 0,5 с^-2 и через t = 15 с приобретает момент импульса 73,5 кг^.м²/c. Найти момент инерции махового колеса, число оборотов колеса за это время, момент сил, приложенных к колесу. Ответ: J = 9,73 кг^.м²; N = 8,96 оборота; М = 4,865 Н^.м.

5.31. На сколько растянется стальной провод длиной l = 0,6 м и диаметром D = 5 мм, если на нем подвесить груз массой m = 70 кг? Ответ: Dl» 4,84^.10^{-4 м.}

5.32. Решить задачу 5.31 для никелевой и алюминиевой проволок. Е_Ni = 202^.10⁹ Па; Е_Al = 69^.10⁹ Па. Ответ: Dl_Ni» 1,04^.10^{-4 м;} Dl_Al» 3,03^.10^{-4 м.}