Произведя вычисления по последней формуле, получим

11 12 13 14 15 16 17

рад, или .

Смещение точки определим, подставив в уравнение (12.1) значения амплитуды А и фазы

: см.

Скорость точки находим, взяв первую производную от смещения по времени:

Подставив значения величин , A, Т и и произведя вычисления, получим

см/с.

Ускорение есть первая производная от скорости по времени, поэтому

Произведя вычисления по этой формуле, найдем см/с².

3. Разность фаз колебаний двух точек волны связана с расстоянием между этими точками соотношением

Подставив значения величин l, х₁ и х₂ и вычислив, получим Dj = 3,49 рад, или Dj = 200°.

Задача 2. На расстоянии l = 4 м от источника плоской волны частотой

= 440 Гц перпендикулярно ее лучу расположена стена. Определить расстояния от источника волн до точек, в которых будут первые три узла и три пучности стоячей волны, возникшей в результате сложения бегущей и отраженной от стены волн. Скорость uволны считать равной 440 м/с. Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике МN плоской волны (рис. 12.1). С учетом этого уравнение бегущей волны запишется в виде (12.1)

= Асоs(wt- kх).

Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, пройдя дважды расстояние l–х, и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на p, то уравнение отраженной волны может быть записано в виде

= Acos{wt-k[x+2(l-x)]+ }. (12.8)

После очевидных упрощений получим

= - Acos[wt-k(2l-x)]. (12.9)

Сложив уравнения (12.1) и (12.8), найдем уравнение стоячей волны:

+ = Асоs(wt- kх) - Acos[wt-k(2l-x)]. (12.10)

Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем

x = -2Asin k(l-x)sin(wt-kl). (12.11)

Так как выражение 2Asin k(l-x) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:

А_ст =|2Asin k(l-x)|. (12.12)

Зная выражение амплитуды, можем найти координаты узлов и пучностей.

Узлы возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны равна нулю: |2Asink(l-x)|=0. Это равенство выполняется для точек, координаты х_п, которых удовлетворяют условию

k(l-x_n) = n (п = 0, 1, 2,...). (12.13)

Но k = 2 или, так как ,

k = 2 . (12.14)

Подставив это выражение k в (12.13), получим

2 (l -x_n)= n pn, (12.15)

откуда координаты узлов

x_n= l - n /(2 ). (12.16)

Подставив сюда значения l, u, n и n = 0, 1, 2, найдем координаты первых трех узлов: х₀ = 4 м; х₁ = 3,61 м; х₂ = 3,23 м.

Пучности возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны максимальна: 2Asink(l-x^/) = 2А. Это равенство выполняется для точек, координаты х^/_n которых удовлетворяют условию

k(l-x^/_n) = (2 n +1)( /2) (n = 0,1,2,3,...).

Выразив здесь k из (12.14), получим 4n x^/_n = 4n l - (2n+1)

, откуда координаты пучностей x^/_n =l - (2n+ 1 )

/(4n). Подставив сюда значения l, u, n и п = 0,1,2, найдем координаты первых трех пучностей: x^/₀ =3,81 м, x^/₁ =3,42 м, x^/₂ =3,04 м.

Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их координат изображены на рис. 12.2. Здесь же отмечены координаты х_о, х₁, х₂,... узлов и координаты x^/₀, x^/₁, x^/₂,... пучностей стоячей волны.

Задача 3. Источник звука частотой =18 кГц приближается к неподвижно установленному резонатору, настроенному на акустическую волну длиной =1,7 см. С какой скоростью должен двигаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора? Температура Т воздуха равна 290 К.

Решение. Согласно принципу Доплера, частота звука, воспринимаемая прибором (резонатором), зависит от скорости u _ист источника звука и скорости u _пр прибора. Эта зависимость выражается формулой

, (12.17)

где u – скорость звука в данной среде; n₀ – частота звуковых волн, излучаемых источником.

Учитывая, что резонатор остается неподвижным (u _пр=0), из формулы (1) получим , откуда

u_ист=u(1-n₀/n). (12.18)

В этом выражении неизвестны значения скорости uзвука и частоты n.

Скорость звука в газах зависит от природы газа и температуры и определяется по формуле

u= . (12.19)

Чтобы волны, приходящие к резонатору, вызвали его колебания, частота n воспринимаемых резонатором волн должна совпадать с собственной частотой n_рез резонатора, т. е.

n=n_рез=u/l_рез, (12.20)

где l_рез — длина волны собственных колебаний резонатора.

Подставив выражения и из равенства (12.19) и (12.20) в формулу (12.18), получим

, (12.21)