Задача 1

Определить усилия в стержнях фермы (рис.8) методом вырезания узлов аналитически.

Решение:

Удаляем опоры А и В и заменяем их действие на ферму реакциями (рис.8-б). Так как внешние силы действуют вертикально, то и опорные реакции будут направлены вертикально (Н_А=0).

Так как нагрузки симметричны относительно опор, то опорные реакции будут равны

V_A=V_B= кН.

Обозначаем узлы фермы буквами, а стержни цифрами (рис.8-б).

рис.8

Каждый узел рассматриваем в равновесии. На узел действует плоская система сходящихся сил. Записываем уравнение равновесия для каждого узла и определяем усилия в стержнях. Вырезание начинаем с того узла, к которому подходят не более двух стержней с неизвестными усилиями. Предполагаем, что все стержни растянуты (растянутые стержни стремятся сжаться, т.е. реакции будут направлены от узлов к центрам стержней). Если в результате вычислений получим реакцию со знаком минус, то это будет указывать на то, что наше предположение неверно, т.е. данный стержень сжат.

Расчетные схемы узлов показаны на рис.8-в. Из схемы фермы (рис.8-а)

tg α =

Отсюда, α = 51⁰, cos α = 0,63,

b = 90⁰– α = 39⁰; cos b = 0,78.

Вырезание начинаем с узла А.

Расчетная схема узла А (рис.9)

y

S₁

51⁰ х

V_A=30 кН 39⁰

S₃

рис.9

Условия равновесия

SF_x = 0 S₁+S₃ ^. cos 51⁰ = 0

SF_y = 0 V_A–S₃ ^. cos 39⁰ = 0

S₃ = кН

S₁ = –S₃ ^. cos 51⁰ = –38,5 ^. 0,63 = –24 кН (стержень сжат)

Расчетная схема узла С (рис.10).

y

F=20 кН

S₁= -24 кН x

S₂

S₄

рис.10

SF_x = 0 S₂–S₁ = 0

SF_y = 0 –F–S₄ = 0

S₂–S₁= –24 кН (стержень сжат)

S₄= –F= –20 кН (стержень сжат)

Расчетная схема узла К (рис.11)

y

S₄= –20 кН

39⁰

S₃=38,5 кН S₅

51⁰

S₆ x

рис.11

SF_x = 0 S₆+S₅ ^. cos 51⁰ –S₃ ^. cos 51⁰= 0

SF_y = 0 S₄+S₃ ^. cos 39⁰ +S₅ ^. cos 39⁰= 0

S₅ = кН (сжат)

S₆ = –S₅ ^. cos 51⁰ + S₃ ^. cos 51⁰ = +12,82 ^. 0,63+38,5 ^. 0,63 = 32 кН

Узел 0. Расчетная схема (рис.12)

y

S₇

x

S₆

рис.12

SF_x = 0 –S₆= 0

SF_y = 0 S₇= 0 стержень 7 при заданном нагружении фермы не работает.

–S₆ = 32 кН

Усилия в стержнях 1¢, 2¢, 3¢, 4¢ и 5¢ из условий симметрии соответственно равны усилием стержней 1, 2, 3, 4 и 5.

Для контроля правильности вычислений проверим равновесие узла Д (см. рис.8-в)

SF_x = 0 –S₂+ ^. cos 51⁰– ^. cos 51⁰ = 0

SF_y = 0 – – ^. cos 39⁰ – ^. cos 39⁰ –F = 0

–24– (–24)–12,82 ^. 0,63 – (–12,82) ^. 0,63 = 0; 0=0;

–(–12,82) ^. 0,78– (–12,82) ^. 0,78–20 = 0; +20–20=0; 0=0.

Составляем таблицу усилий:

Элементы фермы	Номера стержней	Усилия, кН
"+" растягивающие	"–" сжимающие
Верхний пояс	1, 1¢		–24
2, 2¢		–24
Нижний пояс	6, 6¢	+32
Стойки	4, 4¢		–20
Раскосы	3, 3¢	38,5
5, 5¢		–12,82

Таблица 1