Внутренние силовые факторы при изгибе

На первом этапе анализа основная цель заключается в определении и построении эпюр (графиков) внутренних силовых факторов (при плоском изгибе – Q_y, М_х) в поперечных сечениях вдоль оси балки для последующего выбора наиболее опасного в прочностном отношении сечения.

Внутренние силовые факторы, действующие в поперечных сечениях балки, определяют (после нахождения реакций опор), используя метод сечений, для чего мысленно рассекают балку на две части и рассматривают равновесие одной из них. Взаимодействие её с другой частью балки заменяют внутренними силовыми факторами: поперечной силой Q_y и изгибающим моментом M_x.

Поперечная сила в сечении балки равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на мысленно отсечённую часть, на ось, перпендикулярную оси балки.

Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсечённую часть, взятых относительно центра тяжести рассматриваемого сечения.

Знаки действия сил и моментов определяют с использованием «правила знаков» (рис. 17).

Замечание:

1. Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения m−n, даёт равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, вниз – отрицательной.

Если сумма внешних сил, лежащих по правую сторону от сечения m−n, даёт равнодействующую, направленную вниз, то поперечная сила в сечении положительна, вверх – отрицательна (рис. 17а).

2. Если относительно выбранного сечения m−n изгибающий момент стремится изогнуть балку так, что сжатые волокна сверху, то момент от этого силового фактора положителен, в противном случае – отрицателен (рис. 17б).

Проиллюстрируем определение поперечной силы и изгибающего момента на примере двухопорной балки с грузом G, расчётная модель (схема) которой показана на рис. 18а. К такой модели (расчётной схеме) сводится расчёт конструкций пролётов мостов, валов и осей машин, станков и т. п.

Конструктивно шарнирно-неподвижная опора А не препятствует повороту балки вокруг оси шарнира, но не даёт возможности балке перемещаться вдоль своей оси z и в перпендикулярном направлении – вдоль оси y.

Действие опоры заменяется реакцией F_A, направление которой заранее неизвестно. Её раскладывают по направлениям осей y и z: и .

Шарнирно - подвижная опора В не препятствует свободному повороту балки вокруг оси шарнира и свободному поступательному перемещению вдоль оси z. Поэтому воздействие опоры В заменяется одной вертикальной реакцией . Влияние груза G моделируется сосредоточенной силой F в точке С (рис. 18б).

Опорные реакции (, , ) при плоском изгибе определяют, составляя три уравнения равновесия статики, которые в сопротивлении материалов принято записывать в следующей форме:

– сумма проекций всех сил на ось балки (ось z) равна нулю, в нашем случае это уравнение примет вид:

откуда

– сумма моментов всех сил относительно опоры А равна нулю:

откуда ;

– сумма моментов всех сил относительно опоры В равна нулю:

откуда .

Замечания.

1. Выбор опор А и В за центры приведения объясняется тем, что через опоры проходят линии действия неизвестных реакций и и уравнения получаются проще по виду.

2. В уравнениях моментов условно принято, что момент силы, пытающийся повернуть балку относительно выбранного центра против часовой стрелки, положителен, а по часовой стрелке – отрицателен.

3. Для проверки полученных результатов рекомендуется использовать уравнение – сумма проекций всех сил на вертикальную ось у равна нулю:

подставляя в которое полученные выражения для и , получаем тождественное равенство:

Разобьём балку на два участка, определяемые точками А, С и В приложения сил (рис. 18б). Проведём произвольное сечение I−I на первом участке на расстоянии z₁ от опоры А ( ). Применим метод РОЗУ. Действие отброшенной (правой) части на оставшуюся (левую) часть заменим силовыми факторами и (рис. 18в). Из условия равновесия оставшейся (левой) части получаем:

– поперечная сила Q_y в сечении I−I равна сумме проекций всех внешних сил (активных и реактивных), приложенных к оставшейся части балки:

= .

В данном случае поперечная сила на всём участке постоянна;

– изгибающий момент в сечении I−I равен сумме моментов всех внешних сил, приложенных к оставшейся части балки относительно точки О₁ выбранного сечения: .

В данном случае изгибающий момент линейно зависит от z.

Используя правило знаков, устанавливаем, что на первом участке поперечная сила и изгибающий момент положительны.

При z₁ = 0: ;

при z₁ = a:

Для определения внутренних силовых факторов в сечении II-II можно рассматривать левую или правую части (рис. 18г).

При рассмотрении левой части отсчёт z можно вести от точки С, т. е. с конца первого участка (). Тогда поперечная сила и изгибающий момент в этом сечении соответственно равны:

;

При z₂ = 0:

;

при z₂ = b:

Таким образом, эпюра поперечной силы постоянна на участках вдоль оси балки (рис. 18д). Знак поперечной силы на втором участке зависит от разности сил . Эпюра имеет скачки (мгновенное изменение) в местах приложения сил , , .

Эпюра изгибающего момента имеет два характерных линейных участка. На первом участке значение этого фактора возрастает от нуля (в шарнире А) до максимальной величины в месте приложения силы F (точка С), а на втором – линейно убывает до нуля (в шарнире В). С точки зрения прочности опасным является место приложения внешней силы F, так как здесь изгибающий момент достигает максимальной величины и поперечная сила также имеет наибольшее значение.

При рассмотрении правой части отсчёт () ведём от точки В влево (рис. 18г). Поперечная сила и изгибающий момент во втором сечении соответственно равны: