Теорема Д. И. Журавского

Правильность построения эпюр поперечной силы и изгибающего момента можно проверить при помощи дифференциальных зависимостей Журавского между и распределённой нагрузкой q.

Для вывода этих зависимостей рассмотрим произвольную балку (рис. 19а). Пусть к ней приложены внешние силы F₁, F₂,..., F_n и распределённая нагрузка q(z), действующая по произвольному закону (положительное направление указано на рис. 19б – вверх). Выделим из бруса элемент длины dz. В пределах длины dz можно считать нагрузку q распределенной равномерно. Слева и справа в поперечных сечениях выделенного элемента приложены положительные силовые факторы Q_y, М_х в соответствии с обусловленным выше правилом знаков, отличающиеся на dQ_y и dM_x соответственно.

Условия равновесия элемента в проекции на ось у даёт

Q_y + qdz – Q_y – dQ_y = 0,

или

. (4.1)

Условие равенства нулю моментов всех сил относительно центра тяжести сечения (т. С) приводит к соотношению:

,

откуда, отбрасывая q·dz²/2, как величину более высокого порядка малости, чем другие слагаемые, имеем

. (4.2)

Таким образом, поперечная сила Q_y есть производная от изгибающего момента М_х по длине бруса, а интенсивность внешней распределённой нагрузки q – в свою очередь, производная от поперечной силы.

Проверим правильность построения эпюр, показанных на рис. 19. Так как в данном случае распределённая нагрузка q=0, то в соответствии с формулой (4.1) поперечные силы на обоих участках постоянны. На участке, где поперечная сила Q_y постоянна и положительна, график изгибающего момента М_х, в соответствии с формулой (4.1), линейно возрастает (тангенс угла наклона графика изгибающего момента и есть значение Q_y). На участке, где Q_y постоянна и отрицательна, эпюра изгибающего момента M_x линейно убывает с тангенсом угла наклона, равным значению Q_y на этом участке.