Средние величины

Среди обобщающих показателей, характеризующих статистические совокупности, большое значение имеют средние величины.

Средняя величина – это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака.

Совокупность, изучаемая по количественному признаку, состоит из индивидуальных значений; на них оказывают влияние, как общие причины, так и индивидуальные условия. В среднем значении отклонения, характерные для индивидуальных значений, по­гашаются. Средняя, являясь функцией множества индивидуальных значений, представляет одним значением всю совокупность и отражает то общее, что присуще всем ее единицам.

В экономических исследованиях и плановых расчетах применяются две категории средних: степенные и структурные.

К степенным средним относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая. Выбор той или иной формы средней зависит от содержа­ния усредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

Средняя арифметическая – самый распространенный вид средней величины. Вычисляется, когда каждая варианта встречается в совокупности только один раз.

Введем обозначения: х_i – величины, для которых исчисляется средняя; – средняя, n – объем выборки (численность изучаемой совокупности). Тогда

.

Пример. Имеются данные о заработной плате десяти работников предприятия:

Профессия	Количество рабочих	Заработная плата (руб.)
Токари		1700, 1208, 1620, 917, 1400
Фрезеровщики		1810, 1550
Слесари		1210, 1380, 870

Вычислить среднюю месячную зарплату рабочих:

Средняя арифметическая взвешенная – используется, когда варианты повторяются различное число раз, при этом число повторений называется частотой или статистическим весом. Обозначим f_i – частота (вес), повторяемость индивидуальных значений признака, к – количество различных значений варианты в исследуемой совокупности.

.

Пример. Имеются данные о стаже рабочих на предприятии:

Стаж работы (хi)	До 5 лет	5-10 лет	10-15 лет	15 лет и более	Итого
Количество рабочих (fi)

Определить средний стаж рабочих.

В качестве значения варианты нужно взять середину указанного интервала по стажу работы, к = 4,

Следует отметить, что сумма всех весов равна объему выборки, то есть .

Средняя гармоническая взвешенная – вычисляется в тех случаях, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам, а представлена как их произведение, то есть приходится суммировать не сами варианты, а их обратные величины.

.

Пример. Рассчитать среднюю сумму реализации товаров по имеющимся данным:

Город	Цена, руб. (xi)	Сумма реализации, тыс. руб. (fi)
А
Б
В

Расчет средней цены выражается отношением:

.

Для определения неизвестной величины – количества реализованных единиц – нужно отдельно по каждому городу разделить сумму реализации на цену. Поэтому при определении средней цены необходимо воспользоваться формулой средней гармонической взвешенной:

Средняя геометрическая – это величина, которая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин, как отношения каждого уровня ряда к предыдущему.

Пример. По имеющимся данным определить средний темп роста пенсий в России:

Год
Размер пенсии, руб./месяц (уровни ряда уi)		649,3

Рассчитаем средний темп роста по формуле средней геометрической:

Таким образом, в данном примере средний темп роста в год составил 137,97%.

К структурным средним относятся мода и медиана. Они соответствуют конкретным значениям признака совокупности, остальные значения на них не оказывают никакого влияния.

Важнейшей характеристикой центра распределения, кроме средней арифметической, является мода.

Мода – это значение признака, которое чаще всего встречается в вариационном ряду. Во многих случаях эта величина наиболее характерна для ряда распределения и вокруг нее концентрируется большая часть вариант. При изменении распределения в его концах мода не меняется, т.е. она обладает определенной устойчивостью к вариации признака. Поэтому моду наиболее удобно применять при изучении рядов с неопределенными границами.

Для дискретного ряда мода находится непосредственно по определению. Так, по данным таблицы, исходя из наибольшего значения частоты, определяем, что типичное число членов домашних хозяйств – 2 человека. Из 1000 домашних хозяйств 262 состоят всего из 2 человек (262 – максимальная частота ряда, а 2 – значение признака, которое встречается чаще всего).