Число членов домашних хозяйств, чел. xi | Число домашних хозяйств fi | Накопленные частоты Si |
5 и более | ||
Итого |
Для интервального ряда с равными интервалами сначала определяется модальный интервал [xi,xi+1] то есть интервал,которому соответствует максимальная частота fk или частость wk. Значение моды внутри модального интервала определяется по формуле:
,
где x0 — нижняя граница модального интервала;
h — длина модального интервала;
f1— частота интервала, предшествующего модальному,
f2— частота модального интервала,
f3— частота интервала, следующего за модальным.
Пример 2. Определим моду для данных о стаже рабочих. Модальным интервалом будет интервал [10;15], так как в него попало больше всего рабочих (15 человек). Для применения предложенной формулы найдем значения всех переменных, которые в ней используются: x0 = 10; h = 5; f1 = 6; f2 = 15; f3 = 7. Тогда мода будет равна:
.
То есть большинство из рассматриваемых работников имеет стаж 12,65 лет.
|
|
Графически моду определяют по гистограмме распределения (Рис. 3.). Для этого выбирают самый высокий прямоугольник, который и является модальным, далее верхнюю правую вершину модального прямоугольника соединяют с верхней правой вершиной предшествующего прямоугольника, а верхнюю левую вершину модального прямоугольника с верхней левой вершиной последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих отрезков и будет модой распределения.
Медиана – такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда. Ранжированным называется ряд, варианты которого расположены в порядке возрастания. Таким образом, в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значения признака, превышающие медиану, другая – меньше медианы.
В дискретном ряду медиана находится непосредственно по определению на основе накопленных частот. Для распределения домашних хозяйств номер медианы 1000: 2 = =500. Накапливаем частоты до тех пор, пока не будет превзойден номер медианы. Так, 192 домашних хозяйства имеют не более одного члена, 192 + 262 = 454 домашних хозяйства — не более 2 членов, а 454 + 226 = 680 домашних хозяйств – не более 3 членов, т.е. 455-е, 456-е,..., 500-е и 501-е домашние хозяйства состоят из 3 человек. Таким образом, медиана данного ряда равна 3.
Ряд с четным числом членов делит пополам не одна, а две единицы совокупности. Так, в распределении объема выборки 50 в середине ряда расположены единицы совокупности под номерами 25 и 26.
Тогда . Однако, на практике для простоты счета номер медианы при четном числе членов ряда определяется как . Номер медианы для ряда с нечетным числом членов равен .
|
|
В случае интервального вариационного ряда сначала определяется медианный интервал. Для этой цели используются накопленные частоты. Медианным будет интервал, в котором накопленные частоты превзойдут номер медианы. Точное нахождение медианы на найденном интервале осуществляется по следующей формуле:
,
где x0 — нижняя граница медианного интервала;
h — длина медианного интервала;
Sm-1 — накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
fm — частота медианного интервала.
Пример. Определим медиану для данных о стаже рабочих.
Стаж работы (хi) | До 5 лет | 5-10 лет | 10-15 лет | 15 лет и более | Итого |
Количество рабочих (fi) | |||||
Накопленная частота (Si) |
Номер медианы 30: 2 = 15. Медианным интервалом будет интервал [10;15], так как в нем накопленные частоты (23) стали больше номера медианы. Для применения предложенной формулы найдем значения всех переменных, которые в ней используются:
x0 = 10; h = 5; Sm-1 = 8; fm = 15. Тогда медиана будет равна:
То есть половина из рассматриваемых рабочих имеет стаж менее 12,33 года, а половина – больше.
Из определения медианы следует, что она не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее. В связи с этим медиана является лучшей характеристикой центральной тенденции в тех случаях, когда концы распределений расплывчаты (например, границы крайних интервалов открыты) или в ряду распределения имеются чрезмерно большие или малые значения.
Практические задания:
1. По данным о заработной плате работников четырех подразделений предприятия за март и апрель, определите среднемесячную заработную плату работников по заводу в целом в каждом месяце.Номер подразделения | Март | Апрель | ||
Заработная плата, тыс. руб. | Фонд оплаты труда тыс.руб. | Заработная плата, тыс. руб. | Количество работников | |
1 | 3000 | 15000 | 3600 | 5 |
2 | 5000 | 10000 | 6000 | 2 |
3 | 12450 | 186750 | 13070 | 15 |
4 | 15700 | 785000 | 15540 | 50 |
2. Распределение работников коммерческого банка по размеру месячной заработной платы характеризуется следующими данными (тыс. руб.):
2, 3, 4, 2, 7, 8, 3, 4, 5, 10, 8, 2, 6, 1, 2, 3, 5, 10, 8, 2, 5, 1, 3, 2, 5, 8, 11, 8, 5, 3, 2, 8, 9, 5, 3, 2, 10, 7, 8, 7, 8, 7, 11, 1, 11, 3, 2, 5, 4, 5, 7, 8, 1, 10, 11, 8, 9, 3, 10, 11, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 8, 7, 7, 10.
Постройте вариационный ряд с равными интервалами, выделив 5 групп. Постройте гистограмму. Вычислите среднюю заработную плату, моду, медиану и коэффициент вариации.