Показатели вариации

В практическом анализе оценка рассеяния значений признака может оказаться не менее важной, чем определение средней.

Самая грубая оценка рассеяния, определяемая по данным вариационного ряда, может быть дана с помощью размаха вариации:

, где х_т_a_х и х_т_in — наибольшее и наименьшее значения варьирующего признака.

Этот показатель представляет интерес в тех случаях, когда важно знать, какова амплитуда колебаний значений признака, например, каковы колебания цены на данный товар в течение недели или по разным регионам в данный отрезок времени.

Однако этот показатель не дает представления о характере вариационного ряда, расположении вариантов вокруг средней и может сильно меняться, если добавить или исключить крайние варианты (когда эти значения аномальны для данной совокупности). В этих случаях размах вариации дает искаженную амплитуду колебания против нормальных ее размеров.

Для оценки колеблемости значений признака относительно средней используются характеристики рассеяния. Они различаются выбранной формой средней и способами оценки отклонений от нее отдельных вариантов. К таким показателям относятся: среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение – среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений отдельных вариант от их средней величины:

для несгруппированных данных: ;

для сгруппированных данных: ,

где x_i – значение признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном распределении;

f_i – частота признака.

Среднее линейное отклонение выражено в тех же единицах измерения, что и варианты или их средняя. Оно дает абсолютную меру вариации.

Чтобы избежать равенства нулю суммы отклонений от средней, можно вместо абсолютных отклонений использовать их квадраты. В этом случае мера вариации называется дисперсией.

Для несгруппированных данных: ;

для сгруппированных данных: .

Исчисление дисперсии сопряжено с громоздкими расчетами, которые можно упростить, если использовать следующую формулу:

Вследствие суммирования квадратов отклонений дисперсия дает искаженное представление об отклонениях, измеряя их в квадратных единицах. Поэтому на основе дисперсии вводят еще две характеристики: среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Среднее квадратическое отклонение измеряется в тех же единицах, что и варьирующий признак, и исчисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии:

для несгруппированных данных: ;

для сгруппированных данных: .

Среднее квадратическое отношение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения. Отклонение, выраженное в s, называется нормированным или стандартизированным.

Для оценки меры вариации и ее значимости используется коэффициент вариации, который дает относительную оценку вариации и получается путем сопоставления среднего квадратического отклонения со средним уровнем явления, результат выражается в процентах:

Так как коэффициенты вариации дают относительную характеристику однородности явлений и процессов, они позволяют сравнивать степень вариации разных признаков. Интерпретируется следующим образом: если V < 33%, то исследуемая совокупность однородная, средняя типичная; если V > 33%, то совокупность разнородная, средняя фиктивная, к ней следует относиться осторожно.

Пример. По приведенным данным таблицы смертности вычислить всевозможные показатели вариации:

Таблица 2. Расчетная таблица для исчисления показателей вариации.

Группы по возрасту	Мужчины f_i	Середина интервала x_i

0-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70 и старше
Итого

Середина интервала x_i	Расчетные показатели

		1002,9889	16125052,55
		711,2889	11279619,38
		469,5889	11270603,19
		277,8889	9191453,26
		136,1889	4390866,32
		44,4889	1325546,78
		2,7889	96677,22
		11,0889	288766,04
		69,3889	2078266,94
		177,6889	4889998,53
		335,9889	8000567,69
		544,2889	5706324,83
		802,5889	11999506,64
		1110,8889	9965784,32
		1469,1889	20351204,64
		7166,3335	116960238,33