Вычисление определителей разложением по строке (столбцу)

Пусть А - квадратная матрица порядка n.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента матрицы a_ij называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i -той строки и j -того столбца, взятый со знаком «+», если сумма i+j четная, и со знаком «-», если нечетная.

Определитель порядка n>1 равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример. Вычислить определитель разложением по строке либо столбцу.

Разложим определитель по первой строке.

Ответ: -45.

1.3.4. Вычисление определителей путем приведения матрицы к треугольному виду.

Этот метод называют также методом элементарных преобразований.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Произвольная матрица приводится к треугольному виду методом элементарных преобразований.

Под элементарными преобразованиями понимают умножение какой-либо строки (столбца) на число l¹0 и добавление к другой строке (столбцу).

Замечание. Элементарные преобразования обратимы, т.е. если матрица А может быть получена из матрицы В элементарными преобразованиями, то матрица В также может быть получена из А обратными им элементарными преобразованиями.

Пример.

1. Умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ее ко второй строке. Результат запишем во второй строке новой матрицы.

2. Умножим первую строку матрицы на 2 и прибавим ее к третьей строке. Результат запишем в третьей строке новой матрицы.

3. Умножим вторую строку матрицы на 5/4 и прибавим ее к третьей строке. Результат запишем в третьей строке новой матрицы.

Получим треугольную матрицу, определитель которой равен произведению элементов главной диагонали.

det A= 1×4×(-5,5)= -22

Ответ: -22.