2015-10-22
10071
Вычисление определителей зависит от порядка определителя. Рассмотрим вычисление определителя второго порядка:
,
т.е. определитель второго порядка равен произведению элементов, находящихся на главной диагонали минус произведение элементов, находящихся на побочной диагонали.
Вычисление определителей третьего порядка можно произвести различными способами. Рассмотрим их подробнее с наглядными примерами. Подчеркнем, что первые три способа относятся к вычислению определителей только III-го порядка.
1 способ. По определению (по правилу треугольников).
Рассмотрим сначала в общем виде:
Схематическая запись этого правила выглядит следующим образом:
+ –
2 способ. По правилу Саррюса.
Схематически:
–
+
В результате этот способ сводиться к подсчету по определению, т.е. к I способу.
3 способ. По правилу Фридерищева.
4 способ. Вычисление определителя с помощью разложения по элементам ряда.
Если первые три способа относятся к вычислению определителей только третьего порядка, то этот способ и следующие применимы и к определителям третьего и выше порядков.
|
|
|
Итак, определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения:
Введем новые понятия:
здесь 
- это алгебраические дополнения, каждое из которых соответствует элементу, т.е. 
соответствует элементу 
, 
элементу 
.
Алгебраические дополнения определяются по формуле:
где 
- минор, также соответствующий элементу.
Минором элемента называется определитель 
-го порядка 
, полученный из определителя 
-го порядка 
вычеркиванием 
-й строки и 
-го столбца (на пересечении которых стоит элемент).
5 способ. Вычисление определителя методом обнуления элементов какого-либо ряда.
В этом способе используется 7-е свойство определителей (из раздела 1.1). Способ будем рассматривать на примерах.
6 способ. Приведение определителя к треугольному виду.
В этом способе также используется 7-е свойство определителей (из раздела 1.1). Способ будем рассматривать на примерах.
Пример 1.1.
Вычислить определитель третьего порядка:
1 способ. По определению:
2 способ. По правилу Саррюса:
3 способ. По правилу Фридерищева:
Способ.
а). Разложив по элементам третьей строки:
б). Разложив по элементам второго столбца:
Способ.
а). Получив нули в третьем столбце.
Когда получают нули в столбце, то работают со строчками. Схематически будем работать так:
Это означает, что элементы первой строки умножим на 
и сложим с соответствующими элементами второй строки, затем элементы первой строки умножим на 5 и сложим с соответствующими элементами третьей строки.
|
|
|
Итак: 
Теперь вычислим определитель, разложенный по элементам третьего столбца:
б). Получив нули во второй строке (значит будем работать со столбцами).
+ 
+ 
Способ.
Преобразовав его к треугольному виду:
Можно еще раз убедиться в том, что вычисляя один и тот же определитель любым способом, мы получили одно и то же число 
.
Пример 1.2.
Вычислить определитель четвертого порядка
1) Получив нули в 1 строке (значит работать будем со столбцами)
2) Приведя к треугольному виду
1) 
+
+
+
2) 
ЗАДАНИЯ
Задание 1.1. Вычислить определитель третьего порядка:
а) по определению (по правилу треугольников);
б) по правилу Саррюса;
в) по правилу Фридерищева;
г) разложением по элементам i-й строки;
д) разложением по элементам j-го столбца;
е) получив нули в любой строке или любом столбце;
ж) преобразовав его к треугольному виду.
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
1.10 
1.11 
1.12 
1.13 
1.14 
1.15 
1.16 
1.17 
1.18 
1.19 
1.20 
1.21 
1.22 
1.23 
1.24 
1.25 
1.26 
1.27 
1.28 
1.29 
1.30 
Задание 1.2. Вычислить определитель четвертого порядка:
а) получив нули в i-й строке;
б) получив нули в j-й столбце;
в) преобразовав его к треугольному виду.
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
2.10 
2.11 
2.12 
2.13 
2.14 
2.15 
2.16 
2.17 
2.18 
2.19 
2.20 
2.21 
2.22 
2.23 
2.24 
2.25 
2.26 
2.27 
2.28 
2.29 
2.30 
II. МАТРИЦЫ
