Глава 2. Противоречивость понятия "бесконечное число"

Как мы ещё отчётливее проясним по ходу дальнейшего изложения, в некоторых случаях достаточно заменить идею так называемого бесконечного идеей неопределённого, для того чтобы немедленно развеять все возникающие проблемы; но в некоторых случаях этот шаг невозможен, поскольку речь идёт о чём-то явно определённом – "постоянном", так сказать, по определению – которое, как таковое, не может быть причислено к неопределённому исходя из наших недавних замечаний. Так, например, можно сказать, что некоторая последовательность чисел неопределённа, но не что некоторое число, каким бы большим его ни предполагали и какое бы положение оно ни занимало в последовательности, является неопределённым. Идея "бесконечного числа", понимаемого как "наибольшее из всех чисел" или "число всех чисел" или "число всех единиц", является сама по себе поистине противоречивой идеей, которая осталась бы невозможной даже при отказе от неправомерного употребления слова "бесконечное". Не может быть числа, большего чем все другие, поскольку, как бы велико ни было число, всегда можно образовать большее путём добавления единицы, согласно формуле образования последовательности, упомянутой нами ранее. Это равнозначно утверждению, что у последовательности чисел не может быть конечного члена, и именно по той причине, что она не "оканчивается", она является поистине неопределённой; поскольку число членов последовательности равно последнему её члену, можно сказать, что последовательность "неисчислима", и к этой идее мы ещё вернемся по ходу дальнейшего изложения.

Невозможность "бесконечного числа" может быть установлена и другими различными аргументами. Лейбниц, который, по крайней мере, хотя бы это понимал чётко¹, рассматривал аргумент о сопоставлении последовательности чётных чисел с последовательностью целых чисел: каждому числу в таком сопоставлении соответствует другое число, равное произведению первого на два, таким образом, можно сопоставить обе последовательности почленно, и результатом будет совпадение количества членов в обеих; но, очевидно, что целых чисел в два раза больше, чем чётных, поскольку чётные числа идут через одно в последовательности целых чисел; таким образом, сопоставление приводит к очевидному противоречию. Этот аргумент можно обобщить, взяв вместо последовательности чётных чисел (то есть умноженных на два) числа, умноженные на любое число, и вывод останется прежним; или же, подобным образом, можно взять последовательность квадратов целых чисел² или, более общим образом, последовательность их степеней любого показателя. В любом случае, вывод будет прежним: последовательность, включающая только часть целых чисел будет равной по числу членов другой последовательности, включающей все целые числа, что равнозначно утверждению, что целое не больше его части, и, при допущении существования числа всех чисел, это противоречие будет неизбежным. Тем не менее некоторые полагали возможным избежать данного противоречия, предполагая существование чисел, умножение на определённое число или возведение в определённую степень которых невозможно именно по причине того, что такие операции будут иметь результатом число, превосходящее так называемое "бесконечное число"; находятся даже такие, которые в самом деле склоняются к рассмотрению чисел, описываемых как "большие чем бесконечность", – так появляются такие теории, как "трансфинитные числа" Кантора, которые могут выглядеть весьма хитроумными, но находятся за пределами какой-либо логической состоятельности³: является ли вообще мыслимой такая фантазия, которая предполагает именовать число "бесконечным", когда напротив оно настолько "конечно", что даже не является наибольшим из чисел? Более того, при наличии таких теорий будут существовать такие числа, к которым не будут применимы никакие из правил обыкновенного вычисления, то есть, коротко говоря, числа, которые не будут являться в действительности числами, а только называться таковыми по соглашению⁴. Так неизбежно происходит, когда в попытке помыслить "бесконечное число" иным образом, нежели как наибольшее из чисел, рассматривают различные "бесконечные числа", предположительно неравные друг другу, которым приписываются качества, уже не имеющие ничего общего с качествами обычных чисел; так через уход от одного противоречия открывается дорога к нескольким новым, и всё это, по сути, является только результатом того самого пресловутого бессмысленного "конвенционализма".

1 Он писал: "Невзирая на мою теорию исчисления бесконечно малых, я не признаю существования в действительности бесконечного числа, хотя я признаю, что совокупность всех вещей превосходит все конечные числа или, скорее, всякое число".

2 Это было произведено Коши, который приписывал этот аргумент Галилею (Sept leçons de Physique générale, лекция третья).

3 Уже во времена Лейбница Валлис рассматривал spatia plus quam infinita (более чем бесконечное пространство); эта точка зрения, раскритикованная Вариньоном как заключающая противоречие, также поддерживалась Гвидо Гранди в его книге De Infinitis infinitorum (О бесконечности бесконечных). С другой стороны, Иоганн Бернулли в ходе дискуссий с Лейбницем писал: " Si dantur termini infiniti, dabitur etiam terminus infinitesimus (non dico ultimus) et qui eum equuntur " ("Если даны границы бесконечного, будут даны и границы бесконечно малых (не говорю: предельные границы), которые из них следуют"), что, при отсутствии более внятных пояснений с его стороны, выглядит как его предположение, что в числовой последовательности могут быть члены "за пределами бесконечного".

4 Ни в коем случае нельзя считать, что здесь дело в аналогическом употреблении понятия числа, ибо это подразумевало бы переход в область, инаковую по отношению к количеству; напротив, соображения такого рода всегда относятся исключительно к количеству, понимаемому в его самом буквальном смысле.

Таким образом, идея так называемого "бесконечного числа", каким бы способом её ни излагали и каким бы именем ни называли, всегда содержит противоречивые элементы; вместе с тем, сама потребность в такой абсурдной идее отпадает с того момента, как только формируется адекватное понятие о сути неопределённости числа, а также понимание того, что число, несмотря на его неопределённость, ни в коем случае не приложимо ко всему существующему. Нет необходимости задерживаться на этом моменте, так как мы уже досточно пояснили его в других наших работах. Число является только модусом количества, а количество само по себе является всего лишь категорией или особенным модусом бытия, неравнообъёмным по отношению к нему, или, ещё точнее, количество является всего лишь условием, присущим одному определённому состоянию существования во всей целостности вселенского бытия; и именно этот момент современные учёные понимают с наибольшим трудом при их привычной склонности сводить всё к количеству и даже к численной оценке всего⁵. Тем не менее в самой области количества есть реалии, существующие вне числа, как мы увидим при рассмотрении категории непрерывности (континуальности); и даже оставаясь исключительно в сфере рассмотрения дискретного количества, следует признать, по крайней мере, косвенным образом, что число не приложимо ко всем явлениям – например, очевидно, что множество всех чисел не может составлять числа; что, вместе с тем, представляет собой только частный случай той неоспоримой истины, которая гласит, что нечто, ограничивающее некоторый уровень возможностей, должно с необходимостью принадлежать уровню внешнему и инаковому по отношению к ограничиваемым объектам⁶. Необходимо только уяснить, что такое множество, будь оно прерывным, как в случае последовательности чисел, или непрерывным – этот вопрос мы рассмотрим далее – никоим образом не может именоваться бесконечным, и в таких случаях не может иметь места ничего кроме неопределённого; и именно это понятие множества мы сейчас намерены рассмотреть более подробно.

5 Так, Ренувье полагал, что число приложимо ко всему, по крайней мере, в идеальном плане, то есть что всё "исчислимо" само по себе, даже если мы фактически неспособны его "исчислить"; поэтому он совершенно неверно понял значение, которое Лейбниц придавал понятию "множество", и он так и не уяснил, каким образом различие между множеством и числом позволяет избежать противоречия "бесконечного числа".

6 Мы сказали тем не менее, что каждая конкретная или определённая вещь, что бы она собой ни представляла, ограничена по самой своей природе, но здесь нет абсолютно никакого противоречия: действительно, она ограничена негативной стороной этой природы (ибо, как выразился Спиноза: " omnis determinatio negatio est " – "всякое определение есть отрицание"), то есть своей природой, рассматриваемой в той мере, в какой она исключает другие вещи и оставляет их вне самое себя*, таким образом, что в итоге именно сосуществование этих иных вещей производит ограничение рассматриваемой вещи; вместе с тем, именно по этой причине универсальное Всё, и только оно одно, не может быть ограничено ничем.

* Сущность (лат. essentia) есть принцип негативный, принцип отрицания (иных содержаний бытия), ограничения бытия (сведения его к конечному бытию), определённости – в отличие от принципа бытия, который есть позитивный принцип, принцип полагания. См.: Э. Корет. Основы метафизики. / пер. В. Терлецкого. Киев, 1998. разд. 3.2.3. (прим. перев.)