Глава 24

Истинное понимание "предельного перехода".

Рассмотрение "предельного перехода", как мы отмечали ранее, необходимо если не для практических целей метода бесконечно малых, то, по крайней мере, для его теоретического обоснования, и именно это обоснование интересует нас в рамках настоящего исследования, поскольку обычные практические правила вычислений, возникающие как бы "эмпирическим" путём без понимания их причин и основ, очевидно, не имеют никакого интереса с нашей точки зрения. Несомненно, для завершения вычислений и даже для доведения их до конца нет необходимости рассматривать вопрос, достигает ли переменная своего предела или как она его достигает; тем не менее если она не достигает своего предела, такое исчисление будет только обычным методом приближений. Правда, здесь имеет место неопределённое приближение, поскольку сама природа бесконечно малых величин позволяет свести погрешность к сколь угодно малой – однако же без полного её устранения, поскольку, несмотря на неопределённое убывание, эти бесконечно малые величины никогда не обращаются в ничто. Пожалуй, можно сказать, что с практической точки зрения такой метод равнозначен совершенно строгому исчислению; но, помимо того что не это нас интересует, такая точка зрения не даёт ответа на вопрос: имеет ли смысл само понятие неопределённого приближения, если в плане искомых результатов рассматриваются не переменные, а постоянные и находимые величины? При таких условиях при рассмотрении результатов предстаёт следующая альтернатива: либо предел не достигается, и тогда исчисление бесконечно малых является всего лишь наименее грубым из методов приближения; либо предел достигается, и тогда рассматриваемый метод является действительно строгим. Но мы уже видели, что предел, по самому его определению, не может быть достигнут переменной; как же тогда можно говорить, что он тем не менее достигается? Это может быть строго осуществлено не в ходе вычислений, а в результатах вычислений, поскольку в них должны фигурировать только постоянные и находимые величины, как сам предел – но не переменные; следовательно, единственным подлинным обоснованием строгости исчисления бесконечно малых является, как мы уже указывали, различие между переменными и постоянными величинами, являющееся сугубо качественным различием.

Итак, повторим снова: предел не может быть достигнут в рамках некоторого варьирования и в качестве члена этого варьирования; он не является конечным значением, которое принимает переменная, и сама идея непрерывного варьирования, заканчивающегося неким "конечным значением" или "конечным состоянием", была бы такой же невразумительной и противоречивой, как и идея неопределённой последовательности, заканчивающейся неким "конечным членом", или идея деления континуума, заканчивающегося "конечными элементами". Поэтому предел не является частью ряда последовательных значений переменной, но находится вне этого ряда, и поэтому, как мы сказали, "переход к пределу" в принципе подразумевает некоторую дискретность. Если бы это было не так, мы столкнулись бы с неопределённостью, которая могла бы быть исчерпана аналитически, а это невозможно. Здесь установленное нами ранее в этом отношении различие приобретает свой полный смысл, ибо это один из тех случаев, в которых рассматривается возможность достижения пределов некоторой данной неопределённой последовательности (согласно употреблённому нами ранее выражению); поэтому то же самое слово "предел", не без оснований, появляется снова, но в другом, более узком смысле, в конкретном случае, который мы сейчас рассмотрим. Предел переменной должен поистине ограничивать, в общем смысле этого слова, неопределённость состояний или возможных изменений, заключающихся в определении данной переменной; и именно по этой причине он с необходимостью должен находиться вне того, что он ограничивает. Не может быть речи об исчерпывании этой неопределённости в ходе собственно варьирования, составляющего эту неопределённость; в действительности, это вопрос выхода за пределы области этой переменности, не содержащей собственный предел, и этот результат достигается не аналитически и пошагово, но синтетически и разом, как бы "внезапным" образом, и соответствует дискретности перехода от переменным к постоянным величинам¹.

1 Этот "внезапный" или "мгновенный" характер можно сравнить (используя аналогию с природными явлениями) с приведённым выше примером разрыва верёвки: сам разрыв представляет собой предел, а именно предел растяжения, но он никоим образом не сравним с растяжением, какова бы ни была степень растяжения.

Пределы в принципе принадлежат области постоянных величин; поэтому "переход к пределу" логически требует одновременного рассмотрения двух различных и как бы наложенных друг на друга модальностей, существующих внутри количества; он представляет собой не что иное, как переход в высшую модальность, в которой то, что в низшей модальности существует в состоянии простой тенденции, полностью реализуется; используя терминологию Аристотеля, это переход от потенциальности к актуальности* – что, несомненно, не имеет ничего общего с простым "уравниванием погрешностей", о котором говорил Карно. Математическое понятие предела по самому своему определению подразумевает характер стабильности и равновесия, которым обладают неизменные и определённые объекты, и которым, очевидно, не могут обладать величины, рассматриваемые как находящиеся в низшей из этих двух модальностей, величины в принципе переменные; поэтому предел никогда не может быть достигнут постепенно, но только непосредственно переходом из одной модальности в другую, и только такой переход позволяет миновать все промежуточные стадии, поскольку он синтетически включает в себя и объемлет всю их неопределённость; таким образом то, что было и могло быть исключительно тенденцией в рамках переменной, утверждается и фиксируется в реальном определённом результате. В ином случае понятие "перехода к пределу" всегда будет представлять собой только чистейшую нелогичность, ибо очевидно, что при нахождении внутри области переменных, невозможно обрести постоянство, присущее пределам, поскольку величина, ранее рассматривавшаяся как переменная, должна как раз утратить свой преходящий и контингентный характер. Состояние переменных величин, в самом деле, представляет собой в высшей степени преходящее и как бы несовершенное состояние, поскольку оно является только выражением "становления", как обстоит дело (как мы показали) и с сущностью самого понятия неопределённости, которое, вместе с тем, тесно связано с состоянием переменности. Таким образом, вычисления будут только тогда совершенными или поистине завершёнными, когда они дают результаты, в которых нет ничего переменного или неопределённого, но есть только постоянные и находимые величины; и мы уже показали, как это соображение может быть применено, посредством аналогического переложения, к областям, находящимся за пределами количественного порядка, – в которых он будет иметь не более чем символическое значение – и даже к областям, прямо касающимся метафизической "реализации" существа.

* Схема Генона скорее обнаруживает сходство с каламитской и суфийской концепцией "выявления скрытого", которая, в отличие от аристотелевской концепции потенциальности и актуальности, имеет отношение к познанию, а не к бытию (см.: А.В. Смирнов. Явное. // Новая философская энциклопедия. т. 4. Москва, 2010). (прим. перев.)