I. ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Прямыми измерениями называются такие, при которых измерение величины производится непосредственно по шкале прибора. Например,
измерение длины штангенциркулем, измерение веса тела на весах, определение промежутков времени с помощью секундомера. Если отклонение результатов измерений от истинного значения измеряемой величины происходит как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения результатов измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет среднее арифметическое всех сделанных измерений:
, (1)
где - результаты отдельных измерений, n - число измерений.
Для характеристики степени приближения к истинному значению измеряемой величины вводится понятие абсолютной погрешности - величины, показывающей насколько найденное (среднее арифметическое) значение может отличаться от истинного значения измеряемой величины.
Для определения абсолютной погрешности сначала нужно найти отклонения каждого отдельного измерения от среднего арифметического: , где - отклонение данного измерения, равное разности между средним значением измеряемой величины и результатом этого измерения .
Случайная погрешность вычисляется по формуле:
, (2)
где - модули отклонений каждого отдельного измерения от среднего арифметического значения.
Из формулы (2) и теории вероятностей следует, что с увеличением числа измерений n случайная погрешность будет уменьшаться.
В качестве систематической погрешности берется приборная погрешность, равная половине цены деления шкалы прибора. Ценой деления прибора называется минимальная величина, измеряемая прибором.
В общем случае необходимо принимать во внимание как случайные, так и систематические погрешности прямых измерений. Поэтому абсолютная погрешность при прямых измерениях рассчитывается по формуле:
(3)
где - случайная погрешностей, определяемых по формуле (2),
-систематическая погрешность прибора, инструмента.
Примечание: Если случайная погрешность много меньше систематической, то для повышения точности результата измерений нет смысла увеличивать число измерений, а нужно принять меры к уменьшению систематической погрешности (например, использовать более точные приборы).
Пример. Пусть измеряется диаметр цилиндрического стержня с помощью штангенциркуля и делается 5 измерений: 34.50мм, 34.65мм,34.30мм,
34.70мм, 34.55мм.
Среднее арифметическое всех сделанных измерений:
Полученное значение даёт наиболее вероятное значение измеряемой величины D.
Для нахождения случайной погрешности нужно найти абсолютное значение отклонения каждого из 5-ти измерений от среднего арифметического и затем определить среднее значение этих отклонений:
Цена деления штангенциркуля равна 0.05 мм, следовательно, систематическая погрешность равна .
Абсолютная погрешность при измерении диаметра стержня:
Результат измерений принято записывать следующим образом:
.
(Результат измерений 34,54 мм и абсолютная погрешность 0,12 мм должны заканчиваться в одинаковом разряде)
Для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности:
Относительная погрешность ε представляет собой отношение абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины. В нашем примере относительная погрешность при измерении диаметра:
Относительная погрешность является безразмерной величиной. Она показывает, какую часть измеряемой величины составляет абсолютная погрешность.
Иногда относительная погрешность выражается в процентах:
I I. ПОГРЕШНОСТЬ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ.
В большинстве случаев в лабораторном практикуме нельзя определить искомую физическую величину непосредственно по приборам. В этом случае прибегают к косвенным измерениям. Косвенными измерениями являются измерения, полученные на основе прямых измерений и подсчитанные по математическим формулам.
Например, объем цилиндра определяется по формуле , где с помощью прямых измерений определяется диаметр цилиндра D и его высота h, объем же получается в результате косвенных измерений.
В таких случаях погрешность косвенного измерения зависит не только от погрешностей прямых измерений, но и от вида той математической формулы, по которой находится физическая величина.
Для нахождения погрешностей косвенных измерений удобно воспользоваться правилами дифференциального исчисления, считая искомую величину функцией, а величины, непосредственно измеряемые приборами, ее аргументами. Пусть вид функциональной зависимости определяется формулой , где А - результат косвенного измерения, - результаты прямых измерений. По определению относительная погрешность равна
(5)
С другой стороны . Так как погрешность всегда много меньше измеряемой величины А, ошибки можно считать малыми величинами. Это дает возможность замены знака дифференциала d на знак абсолютной ошибки . То есть, можно записать: .
Из сопоставления приведенных формул следует, что относительную погрешность косвенного измерения можно найти путем:
1) логарифмирования исходного выражения ;
2) последующего дифференцирования ;
3) заменой знака дифференциала d на знак абсолютной погрешности ;
4) заменой всех знаков минус на знаки плюс перед знаками абсолютных погрешностей .
Пример.
Для определения плотности цилиндрического телаприменяется формула:
,
где m - масса тела, D - диаметр, h- высота. Величины m, D, h определяются в результате прямыхизмерений. Плотность определяетсяиз косвенных измерений. Для нахождения относительной погрешности, выполняем следующие действия:
1) находим натуральный логарифм исходного выражения
,
2) выполняем дифференцирование: ,
3) заменяем знак d на знак : ,
4) перед всеми знаками ставим знаки плюс .
Далее можно найти абсолютную погрешность: ,
где - абсолютная погрешность косвенного измерения, - среднеезначение искомой величины, ε – относительная погрешность.