Основные свойства определителей

1. Если какая-либо строка или какой-либо столбец определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю.

Пример: Разложить определитель по нулевому столбцу:

=0·А +0·А +0·А =0.

2. При транспонировании матриц, её определитель не изменяется:

detA= detA .

3. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей, т.е. если С=АВ, то detС= detA ·detВ. Отсюда следует, что если даже АВ ВА, то det(AВ)= det(ВA).

4.При перестановке любых двух строк или столбцов определитель не изменяется по абсолютной величине, но меняет знак на противоположный.

Пример: = - .

5.Определитель, содержащий две одинаковые строки или два одинаковых столбца, равен нулю.

Пример: =1·2-1·2=0.

6. Общий множитель всех элементов какой-либо строки или столбца можно вынести за знак определителя.

Пример: = =2· .

7. Сумма произведенийэлементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равны нулю.

Пример: = = a A ₁₂ +a ₂₁ A ₂₂ +a ₃₁ A ₃₂= a A ₂₁ +a ₁₂ A ₂₂ +a ₁₃ A ₂₃=…=0.

8. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.

Пример: Используя свойство №8, вычислить определитель = .

Решение: Прибавим ко второй строке определителя первую строку, умноженную на (-2), а к третьей строке—первую, умноженную на (-3). Согласно свойству определитель от этого не изменится. После этого разложим получившийся определитель по элементам первого столбца.

= = = 1·(-1)¹⁺¹ =

= (-2)·5-3·(-11)=-10+33=23.

5. Рекомендуемое содержание отчета (для студента).

1. Название лабораторной работы.

2. Цель и задачи исследований.

3. Электронно-вычислительные средства для расчетов.

4. Журнал (тетрадь) исследований (вычислений) с обработкой полученных данных в виде таблиц, графиков (по требованию).

5. Выводы.

6.Оформление итогов лабораторной работы (перечень сделанного, рекомендации, ответы на рассмотренные в процессе выполнения ключевые контрольные вопросы).

7. По результатам представленного студентами группового отчета проводится защита лабораторной работы.

Преподаватель оценивает знание каждого студента.

Литература