Обратная матрица

Квадратная матрица, определитель Δ которой не равен нулю, называется невырожденной, или несобственной, матрицей, а матрица с Δ =0 называется вырожденной, или особенной, матрицей.

Матрица А^-1 называется обратной для квадратной матрицы А·n-го порядка, если А· А^-1= А^-1· А=E.

Если определитель Δ матрицы А не равен нулю, то матрица А^-1 существует, причем единственная:

А^-1 = (1), где А_ij—алгебраические дополнения элементов матрицы А.

В сокращенной форме (1): А^-1 = ·Ã, где Δ — определитель матрицы А, × матрица, присоединенная (транспонируемая матрица алгебраических дополнений матрицы А) к матрице А.

Свойства обратной матрицы:

1) (А^-1)^-1= А;

2) (А·В)^-1= В^-1 · А^-1;

3) (А^Т)^-1 = (А^-1)^Т.