2015-10-16
325
Определитель — число, характеризующее квадратную матрицу. detА= 
.
Вычисление определителей.
Определитель матрицы первого порядка, состоящий из одного элемента, есть сам этот элемент.
Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
= 
=a 
a 
-a 
a 
.
Пример: А= 
. 
= 
=1·4-2·(-3)=4+6=10.
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
= 
= a a a 
+a a 
a 
+a a 
a 
-a a a -a a a -a a a .
Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, взятых по одному из разных строк и столбцов. Схема вычисления определителя 3-го порядка (правило Сарруса) показана на рис:
Замечание: правило Сарруса может быть использовано только для вычисления определителя третьего порядка.
Вычисление определителя матриц любого порядка разложением определителя по строке или столбцу.
Пример: разложение определителя по первой строке:
= = a A +a A +a A , где a , a , a — элементы первой строки, а A , A , A —их алгебраические дополнения.
Алгебраическим дополнением элемента a 
называется число
|
|
|
A = (-1) 
M , где M — минор элемента, i— номер строки, j—номер столбца (1 
n) элемента.
Минором M элемента a определителя n- го порядка называется определитель (n -1)-го порядка, полученный из вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца, на пересечении которых стоит элеме6нт a .
Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения:
= a 
A +a 
A +…+a 
A , 1 n.
Эта формула называется разложением определителя по i-той строке. Аналогичное утверждение имеет место и для разложения определителя по любому столбцу. Эта формула сводит вычисление определителя n-го порядка к вычислению n определителей (n-1)-го порядка.
Этот способ вычисления определителя является универсальным, т.к. позволяет вычислять определители любого порядка.
Пример: Вычислить определитель матрицы А= 
путем разложения его, например, по второй строке.
Решение
= 
= 2·(-1)2+1 
+ 4·(-1)2+2 
+ 1·(-1)2+3 
=
= -2· (3·2 - (-1)· (-2))+4·(1·2-(-1)·3)-1·(1·(-2)-3·3) = -8+ 20+11 = 23.
