2015-10-16
487
Часть
Прямая
Уравнение линии на координатной плоскости ху называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.
В общем случае уравнение линии может быть записано в виде
или, если это возможно, в явном виде
,
где 
и 
- некоторый формулы.
Виды уравнения прямой на плоскости.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Углом наклона прямой называется угол α, отсчитываемый до прямой от положительного направления оси 
против часовой стрелки.
Тангенс этого угла tgα называется угловым коэффициентом прямой и обозначается k= tgα.
Y 
О 
x (рис. 2)
Пусть прямая отсекает на оси 
отрезок 
. Из рисунка очевидно, что
.
Отсюда следует, что
.
Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Уравнением прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через данную точку 
.
Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку 
, кроме вертикальной прямой, имеющей уравнение 
.
Уравнением прямой, проходящей через две данные точки 
и 
:
.
Уравнение прямой в отрезках:
.
Общее уравнение прямой. Общим уравнением прямой на плоскости называется уравнение вида
,
где А, В, С- действительные числа, а А и В не равны одновременно нулю, т.е. 
.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали. В декартовой прямоугольной системе координат вектор 
перпендикулярен прямой , компоненты которой являются координатами вектора.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Каждый нулевой вектор 
, компоненты которого удовлетворяют условию 
, называется направляющим вектором прямой .
Углом между двумя параллельными прямыми 
и 
называется угол 
, образованный этими прямыми при пересечении и лежащий в диапазоне 
.
Обозначим 
; 
. Из рис. 2 видно, что 
, 
.
y
x (рис 2)
Тогда 
.
Если прямые и параллельны, то 
.
Равенство угловых коэффициентов – необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.
Если прямые перпендикулярны, то 
, то 
.
Справедливо также и обратное утверждение: для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратными по величине и противоположными по знаку.
Если прямые заданы общими уравнениями 
и 
, то условие параллельности прямых: 
.
Условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями, является пропорциональность коэффициентов при переменных.
Пусть даны точка 
и прямая 
. Под расстоянием 
от точки М до прямой понимается длина перпендикуляра, опущенного из точки М на данную прямую (рис. 3).
y
0 
x рис. 3.
Расстояние между точкой и прямой 
.
Часть
Кривые второго порядка
Окружностью называют геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром окружности.
(1)
Уравнение (1.) называется нормальным уравнением окружности. В частности, уравнение окружности с центром в начале координат 
имеет вид 
.
Каноническое уравнение эллипса 
.
y 
рис.1
Пусть 
. Тогда числа 
и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
Центром эллипса называется точка пересечения его полуосей.
Точки 
и 
, где 
, называются фокусами эллипса, а отношение 
- его эксцентриситетом.
Эксцентриситет характеризует форму эллипса - чем величина 
больше, тем эллипс более сжатый. Ясно, что 
, причем, если 
, то эллипс вырождается в окружность, для которой 
.
Сумма расстояний от любой точки эллипса до ее фокусов постоянна и равна 
. То есть 
. Это характеристическое свойство эллипса часто принимают за определение эллипса.
Если центр эллипса лежит не в начале координат, а в точке 
, то каноническое уравнение эллипса имеет вид
.
Если в каноническом уравнении эллипса ,
то 
и фокусы располагаются по оси Оу, т.е. и 
.
Каноническое уравнение гиперболы 
.
Гипербола имеет фокусы- точки и , в которых 
, а ее
эксцентриситет принимает любые значения, больше единицы.
Вершины гиперболы- точки и . График гиперболы на рис. 2.
Для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояния до фокусов есть величина постоянная и равная . То есть выполняется равенство .
Это характеристическое свойство гиперболы часто принимают за определение гиперболы.
у
х
Рис. 2.5.
- уравнение, описывающее кривую, которая называется параболой относительно оси Оу. Точка - вершина параболы.
Если вершина параболы расположена в начале координат, то уравнение параболы принимает вид 
.
Величина 
называется параметром параболы. Точка 
называется фокусом параболы, а прямая 
- ее директрисой.
Можно показать, что парабола представляет собой множество всех точке плоскости, равноотстоящих от фокуса и от директрисы: 
.
Это характеристическое свойство часто принимают за определение параболы.
у
директриса рис. 3.
х
5. Рекомендуемое содержание отчета (для студента).
1. Название лабораторной работы.
2. Цель и задачи исследований.
3. Электронно-вычислительные средства для расчетов.
4. Журнал (тетрадь) исследований (вычислений) с обработкой полученных данных в виде таблиц, графиков (по требованию).
5. Выводы.
6. Анализ и защита лабораторной работы производится по результатам представленного студентами отчета (перечень сделанного, рекомендации, ответы на рассмотренные в процессе выполнения контрольные вопросы, выполненные индивидуальные задания).
Преподаватель оценивает знание каждого студента.
Литература
