Лабораторное занятие №11

Дифференциальные уравнения. (4 часа)

Цель: изучить основные понятия и определения обыкновенных дифференциальных уравнений, ознакомиться с методами их решения, для дальнейшего использования в качестве математической модели в задачах естествознания.

На лабораторном занятии формируются

знания:

- о дифференциальных уравнениях первого и высших порядков,

- о вычислении дифференциальных уравнений разделяющимися переменными,

- о линейных дифференциальных уравнениях первого порядка,

- о задаче Коши,

- о дифференциальных уравнениях, допускающих понижение порядка,

- о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами;

умения:

- нахождение общего и частного решений дифференциальных уравнений;

навыки:

- решения дифференциальных уравнений в задачах практического характера.

Материально-техническое оборудование:

математические таблицы, компьютерный класс.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

1. Инструктаж по ТБ.

2.Проверка знаний студентов — их теоретической готовности к выполнению заданий.

3. Общее описание задания.

4. Выполнение заданий.

5. Оформление отчета о лабораторной работе.

6. Анализ

Глоссарий

Выучите определения следующих терминов:

дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения высшего порядка, общее решение дифференциального уравнения, частное решение дифференциального уравнения, задача Коши, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения, допускающих понижение порядка, линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Инструктаж по ТБ в компьютерном классе.

2. На лабораторном занятии используется фронтальная форма работы.

Контрольные вопросы

1. Какое уравнение называется дифференциальным? (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

2. Что называется порядком дифференциального уравнения? Запишите общий вид дифференциального уравнения n -го порядка. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

3.Что называется решением дифференциального уравнения? Чем отличаются общее и частное решения (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

4. Сколько независимых постоянных величин содержит общее решение дифференциального уравнения n -го порядка? (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

5. Каким образом из общего решения выделить нужное частное решение? (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

6. Запишите общий вид дифференциального уравненияпервого порядка и его общее решение. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

7. Сформулировать теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения –первого порядка. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

8. Что называется решением задачи Коши? (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

9. Какое дифференциальное уравнениепервого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными? Как найти его общее решение? (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

10. Запишите общий вид линейного дифференциального уравненияпервого порядка. Как найти его общее решениепри отсутствии и наличии правой части? (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

10. Дайте определение операции умножения матрицы на число. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

11. Дайте определение операции умножения матриц. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

12. Какое условие необходимо для выполнения операции умножения матриц? (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

13. Перечислите свойства операции умножения матриц? (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

14.Дайте определение операции транспонирования матриц. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

3. Необходимо выполнить:

- представленные общие исходные задания;

- представленные индивидуальные задания для студентов, работающих в более быстром темпе (можно выполнить в качестве Д/з);

- оформление отчета о лабораторной работе;

4. Задания

Общие:

№1. Выяснить, является ли решением дифференциальных уравнений указанные функции:

1) x ²- xy + y ²=C², (x -2 y) y ′=2 x — y.

2) x xy′—y=y³. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№2. Методом изоклин построить интегральные кривые следующих дифференциальные уравнений:

1) ; 2) . (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№3. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (в уравнении 5) найти частное решение, при условии у(1)=3):

1) (3 x —1) dy + y ² dx =0; 2) 3 x ² ydx +2 ; 3) e ;

4) tgx sin 2 y dx + cos 2 x ctgy dy = 0; 5) xyy ′ = 1-x². (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№4. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

1) y ′— ; 2) y ′— xy = - y ³e^{- x} . (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

Индивидуальные:

№1. Решить дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение степени:

1) x ³ y ′′+ x ² y ′=1; 2) y ′′ x lnx = y ′; 3) yy′′+y′ =0; 4) y ′′= . (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№2. Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (в уравнении 6) найти частное решение):

1) y′′—4y′+3y=0; 2) y′′—4y′+13y=0; 3) y′′+4y=0; 4) y′′+3y′+2y=0;

5) y′′+y= ; 6) y′′+y′-2y=0, y(0)=0, y′(0)=-3. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№3. Найти интегральную кривую уравнения y′′+4y=0, касающуюся в точке (0;0) прямой у=х. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)