2015-10-16
1134
или 
,
где n = v2 / v1.
Отсюда искомая разность потенциалов
. (3)
Подставим числовые значения физических величин и вычислим:
.
№ 11. Конденсатор емкостью С 1 = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1 = 40 В. После отключенияот источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С 2 = 5мкФ. Какая энергия W ´ израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?
Р е ш е н и е.
Энергия W ´, израсходованная на образование искры,
W´ = W1 – W2 (1)
где W1 - энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2 - энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле
, (2)
где С - емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U -разность потенциалов.
Выразив в формуле (1) энергии W 1 и W 2 по формуле (2) и принимая во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим
, (3)
где U 2 - разность потенциалов на зажимах батареи параллельно соединенных конденсаторов.
Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остается прежним, выразим разность потенциалов U 2 следующим образом:
.
Подставим выражение U 2 в формулу (3):
.
После преобразований имеем 
.
Подставим числовые значения и вычислим W ´:
.
|
№ 12. Потенциометр с сопротивлением R п = 100 Ом подключен к батарее, э.д.с. которой ε = 160 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом. Определить показание вольтметра с сопротивлением Rv = 500 Ом, соединенным с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра?
Р е ш е н и е.
Показание U 1 вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 8), определяется по формуле
U1 = I1 R1 , (1)
где I1 - сила тока в неразветвленной части цепи; R1 сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.
Силу тока I1 найдем по закону Ома для всей цепи:
, (2)
где R - сопротивление внешней цепи.
Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений
, (3)
Сопротивление R1 параллельного соединения может быть найдено по формуле 
, откуда 
.
Подставив числовые значения, найдем
Из выражений (2) и (3) определим силу тока:
.
Если подставить значения I1 и R1 в формулу (1), то можно определить показание вольтметра: U1 = 1,03·45,5 В = 46,9 В.
Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопротивления потенциометра: 
.
Подставляя в эту формулу числовые значения, получим
.
№ 13. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2 с по линейному закону от I0 = 0 до I2 = 6 А. Определить теплоту Q, выделившуюся в этом проводнике за вторую секунду.
Р е ш е н и е. Закон Джоуля - Ленца в виде Q = I2 R t справедлив только для постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде
dQ = I2 R dt. (1)
Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае
I = k t + I0, (2)
где k - коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени, т. е.
.
С учетом (2) формула (1) примет вид
dQ = k2 R t2 dt. (3)
Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t1 до t2:
.
При определении теплоты Q, выделившейся за вторую секунду, пределы интегрирования t 1 = 1 с, t2 =2 с, тогда
.
|
№ 14. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивлений и гальванометра (рис. 9). В этой цепи R 1 = 100 Ом, R 2 = 50 Ом, R 3 = 20 Ом, э.д.с. элемента ε1 = 2 В. Гальванометр регистрирует ток I 3 = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить э.д.с. ε2 второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.
Указание. Для расчета разветвленных цепей применяются правила Кирхгофа.
Первое правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е. å Ii= 0.
Второе правило Кирхгофа. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме э.д.с., в этом контуре.
На основании этих правил можно составить уравнения, необходимые для определения искомых величин (сил токов, сопротивлений и э.д.с.). Применяя правила Кирхгофа, следует соблюдать следующую последовательность.
1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать: а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже; б) направление обхода контуров.
2. При составлении уравнений по первому правилу Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла, отрицательными. Возможное число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.
3. При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа надо считать, что: а) падение напряжения на участке цепи (т.е. произведение IR) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус; б) э.д.с. входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае э.д.с. входит в уравнение со знаком минус.
Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму правилу Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбрать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном выбранному.
Р е ш е н и е.
Выберем направления токов, как они показаны на рис. 9, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.
По первому правилу Кирхгофа для узла F имеем
I1 – I2 – I3 = 0. (1)
По второму правилу Кирхгофа имеем для контура АВСDFА:
-I1R1 – I2R2 = -ε1,
или после умножения обеих частей равенства на -1
I1 R1 + I2 R2 = ε1. (2)
Соответственно для контура AFGHA:
I1 R1 + I3 R3 = ε2. (3)
После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) получим:
I1 – I2 = 0,05;
50 I1 + 25 I2 = 1;
100 I1 + 0,05·20 = ε2.
Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные - в правые, получим следующую систему уравнений:
I1 – I2 = 0,05; 50 I1 + 25 I2 = 1; 100 I1 - ε2 = -1.
Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неизвестное ε2 из трех, то воспользуемся методом Крамера.
Составим и вычислим определитель Δ системы:
.
Составим и вычислим определитель Δε2:
.
Разделив определитель Δε2 на определитель Δ, найдем числовое значение э.д.с. ε2:
ε2 = -300/(-75) = 4 В.
3.2. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ.
1. Два шарика массой m = 1 г каждый подвешены на нитях, верхние концы которых соединены вместе. Длина каждой нити l = 10 см. Какие одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол α = 60 °? (Ответ. 79 нКл.)
2. Расстояние между зарядами q1 = 100 нКл и q2 = 60 нКл равно d = 10 см. Определить силу F, действующую на заряд q3 = 1мкКл, отстоящий на r1 = 12 см от заряда q1 и на r2 = 10 см от заряда q2. (Ответ. 51 мН)
3. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 1,5 нКл/см. На протяжении оси стержня на расстоянии d = 12 см от его конца находится точечный заряд q = 0,2 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда. (Ответ. 2,26 мН)
4. Длинная прямая тонкая проволока имеет равномерно распределенный заряд. Вычислить линейную плотность τ заряда, если напряженность поля на расстоянии d = 0,5 м от проволоки против ее середины E = 2 В/см. (Ответ. 5,55 нКл/м)
5. С какой силой, приходящейся на единицу площади, отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда σ = 2 мкКл/м2? (Ответ. 0,23 Н/м2)
6. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы получить скорость v = 8 Мм/с? (Ответ. 182 В)
7. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью σ = 10 нКл/м2. Определить разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от нее на расстояние d = 10 см. (Ответ. 56,6 В)
8. Электрон с начальной скоростью v0 = 3 Мм/с влетел в однородное электрическое поле с напряженностью Е = 150 В/м. Вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженности электрического поля. Найти: 1) силу, действующую на электрон; 2) ускорение, приобретаемое электроном; 3) скорость электрона через t = 0,1 мкс. (Ответ. 24 аН; 26,4 Тм/с2; 4 Мм/с)
9. К батарее с э.д.с. ε = 300 В подключены два плоских конденсатора емкостью С 1 = 2 пФ и С 2 = 3 пФ. Определить заряд q и напряжение U на пластинах конденсаторов в двух случаях: 1) при последовательном соединении; 2) при параллельном соединении. (Ответ. 1) 0,36 нКл; 189 В; 120 В; 2) 0,6 нКл; 0,9 нКл; 300 В)
10. Конденсатор емкостью С 1 = 600 см зарядили до разности потенциалов U = 1,6 кВ и отключили от источника напряжения. Затем к конденсатору присоединили второй, незаряженный конденсатор емкостью С 2 = 400 см. Сколько энергии W, запасенной в первом конденсаторе, было израсходовано на образование искры, проскочившей при соединении конденсаторов? (Ответ. 0,3 мДж)
11. На концах медного провода длиной l = 5 м поддерживается напряжение U = 1 В. Определить плотность тока j в проводе. (Ответ. 1,18·107 А/м)
12. Сопротивление R 1 = 5 Ом, вольтметр и источник тока соединены параллельно. Вольтметр показывает напряжение U 1 = 10 В. Если заменить сопротивление R 1 на R 2 = 12 Ом, то вольтметр покажет напряжение U 2 = 12 В. Определить э.д.с. и внутреннее сопротивление источника тока. Током через вольтметр пренебречь. (Ответ. 14 В; 2 Ом.)
13. Определить заряд, прошедший по проводу с сопротивлением R = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U1 = 2 В до U 2 = 4 В в течение t = 20 с. (Ответ. 20 Кл)
14. Определить силу тока I в цепи, состоящей из двух элементов с э.д.с. ε1 = 1,6 В и ε2 = 1,2 В с внутренними сопротивлениями r 1 = 0,6 Ом и r 2 = 0,4 Ом, соединенных одноименными полюсами. (Ответ. 0.4 А)
15. Три батареи с э.д.с. ε1 = 8 В, ε2 = 3 В и ε3 = 4 В с внутренними сопротивлениями r = 2 Ом каждое соединены одноименными полюсами. Пренебрегая сопротивлением соединительных проводов, определить токи, идущие через батареи. (Ответ. 1,5 А; 1 А; 0,5 А)
16. Определить напряжение U на зажимах реостата сопротивлением R (рис 10), если ε1 = 5 В, r 1 = 1 Ом, ε2 = 3 В, r 2 = 0,6 Ом, R = 3 Ом. (Ответ. 3,3 В)
17. Определить напряжение на сопротивлениях R 1 = 2 Ом, R2 = R3 = 4 Ом и R4 = 2 Ом, включенных в цепь, как показано на рис. 11, если ε1 = 10 В, ε2 = 4 В. Сопротивлениями источников тока пренебречь. (Ответ. 6 В; 0; 4 В; 4 B)
3.3. ПРОВЕРОЧНЫЙ ТЕСТ
