В экономическом анализе

Методы решения экономических задач с использованием математики и кибернетики называют экономико-математическими методами. К ним относят экономико-статистические методы, эконометрические, методы оптимальных решений, экономическую кибернетику.

К основным экономико-математическим методам, получившим применение в практике экономического анализа, можно отнести экономико-статистические методы – методы корреляционного и регрессионного анализа.

При анализе экономических показателей, определяемых как результат взаимодействия множества различных факторов, часто необходимо количественно оценить степень влияния каждого отдельного фактора. Применяющийся обычно метод цепных подстановок не дает однозначной оценки влияний факторов на результативный показатель.

Методы корреляционного и регрессионного анализа позволяют устранить этот недостаток, так как рассматривают изменение итогового показателя как результат одновременного и взаимосвязанного влияния всех других факторов.

В экономическом анализе методы корреляции и регрессии используются для изучения взаимосвязи между показателями организационно-технического уровня производства на предприятии и такими обобщающими показателями деятельности предприятия как фондоотдача, производительность труда, рентабельность и др.

Как известно, конечный результат работы каждого предприятия зависит от многих объективных и субъективных факторов. Корреляционный метод позволяет на основе большого количества наблюдений установить, как изменяется в среднем результат в связи с изменением ряда факторов.

Корреляционная зависимость определяется с помощью уравнений статистической связи (уравнений регрессии линейного вида). Эти связи могут быть единичными, когда учитывается один факториальный признак; множественными, когда этих признаков два и более; линейными, когда на графиках они изображаются прямой; параболическими, когда на графике они носят характер кривой.

Рассмотрим чаще всего применяющуюся схему использования методов корреляционного и регрессионного анализа для изучения взаимосвязи между экономическими показателями.

1 этап. На основании логических заключений устанавливают, что изучаемая зависимость между величинами Y, x ₁, x ₂, … x_n может быть описана уравнением определенного типа:

Y = f (x ₁, x ₂, … x_n).

2 этап. Определив вид уравнения, рассчитывают его параметры по исходным данным. Обычно используется метод наименьших квадратов.

3 этап. Располагая уравнением связи, можно интерпретировать его параметры в целях экономического анализа и оценить тесноту связи между величинами.

Для определения совокупного влияния факторов на результативный показатель используется коэффициент множественной корреляции R, который можно представить формулой

,

где r – линейные коэффициенты корреляции (парные), а подстрочные индексы показывают, между какими признаками они исчисляются.

Важность коэффициента корреляции для экономического анализа становится ясной, если иметь в виду, что квадрат коэффициента корреляции (коэффициент детерминации) показывает, какую долю вариации показателя Y объясняет взаимосвязь, записанная используемым уравнением регрессии. Долю влияния каждого фактора х_i в изменении показателя Y характеризует соответствующий коэффициент частной корреляции, при расчете которого элиминируется влияние всех остальных рассматриваемых факторов:

,

где r – парные коэффициенты корреляции между соответствующими признаками.

Количественную зависимость изменения значения результативного показателя Y_xi от изменения факторных признаков x_i можно оценить с помощью коэффициентов эластичности (Э _i), а также бета-коэффициентов (β _i).

Коэффициент эластичности – это относительная величина, которая характеризует, на сколько процентов в среднем изменится Y_xi при изменении x_i на один процент при фиксированном положении других факторов:

,

где a_i – коэффициент регрессии при i -том факторе;

– среднее значение i -го фактора;

– среднее значение изучаемого показателя.

Для определения факторов, в развитии которых заложены наиболее крупные резервы улучшения изучаемого показателя, необходимо учесть различия в степени варьирования вошедших в уравнение факторов. Это можно сделать с помощью β-коэффициентов, которые вычисляются по формуле:

,

где – среднее квадратическое отклонение i -го фактора;

– среднее квадратическое отклонение исследуемого показателя.

β-коэффициент показывает, на какую часть среднего квадратического отклонения изменяется результативный признак с изменением соответствующего факторного признака на величину его среднего квадратического отклонения.

С помощью полученной модели можно также количественно оценить влияние факторов на результативный показатель

,

где а_i – коэффициент регрессии при i -том факторе;

Δ х_i – отклонение фактического значения фактора от его базового значения: Δ х_i = х_{i 1} – х_{i 0}.

, .

Серьезным недостатком применения методов математической статистики в процессе анализа является то, что неизбежная усредненность явлений несколько снижает конкретность исследований, не дает в ряде случаев полной возможности установить причины потерь в данном конкретном предприятии.

Пример. Требуется установить влияние на производительность труда одновременно следующих двух факторов: объема работы и фондовооружен­ности (исходные данные приведены в табл. 4.1).

Линейное уравнение статистической связи одновременного влияния этих факторов на производительность труда будет иметь вид:

,

где Y – уровень производительности труда;

х ₁ – объем работы;

х ₂ – фондовооруженность.

Табл. 4.1

Параметры уравнения регрессии находятся методом наименьших квадратов, для чего строят систему нормальных уравнений. В данном случае строится система, состоящая из трех нормальных уравнений:

;

;

,

где n – число наблюдений.

Решая эту систему уравнений, используя расчетные данные табл. 4.1, находим:

а ₀ = –11,058; а ₁ = 1,212; а ₂ = 7,015.

Уравнение множественной регрессии примет вид:

Y_x = –11,058 + 1,212 х ₁ + 7,015 х ₂.

Вычислим по нему Y_x, данные занесем в табл. 4.1.

Дадим экономическую интерпретацию параметров этого уравнения, для чего рассчитаем коэффициенты эластичности:

;

.

Анализ частных коэффициентов эластичности показывает, что по абсолютному приросту наибольшее влияние на производительность труда оказывает фактор х ₁ – объем работы. Увеличение объема работы на 1% дает прирост производительности труда на 1,3%. Рост на 1% фондовооруженности труда приводит к повышению производительности труда только на 0,54%.

Подставляя в полученное уравнение регрессии данные любой пары предприятий, можно определить, какая должна быть разница в производительности труда, исходя из разницы в объеме производства и фондовооруженности.

Сравнивая фактическую разницу с полученной по уравнению, определим степень влияния на нее объективных и субъективных факторов.

Пользуясь данными табл. 4.1 сравним производительность труда на предприятии 5 и 6 (табл. 4.2).