Вычисление контрольных границ для известного стандартного отклонения

Если известно истинное стандартное отклонение σ, контрольные границы определяются по следующим формулам:

нижняя граница = ;

верхняя граница = .

При этом 99,74% точек лежат между контрольными границами, если процесс является управляемым. Если известно истинное стандартное отклонение σ, то обычно оно вычисляется на основе исторических значений. Здесь n – это количество наблюдений в подгруппе. Обратите вни-мание, что на этой контрольной диаграмме и других диаграммах значение n не обязательно дол-жно быть одинаковым для всех подгрупп. Если же оно одинаково для всех подгрупп, в таком слу-чае контрольные диаграммы проще для интерпретации.

Значение µ также может быть известно на основе прошлых значений. Иначе говоря, зна-чение µ может представлять целевое среднее процесса, а не фактическое среднее. В этом случае в формулах для контрольных границ среднее для всех средних подгрупп используется вместо µ:

нижняя граница = ;

верхняя граница = .

Интерпретация диаграммы средних выполняется точно так же, как в том случае, когда из-вестно или не известно истинное среднее процесса.

6.2. Первый пример диаграммы

В качестве примера рассмотрим следующую ситуацию. Студенты часто стремятся попасть на курсы с «хорошими» преподавателями и не хотят учиться у «плохих» преподавателей. Для предоставления студентам информации о качестве обучения разными преподавателями многие университеты используют опросы в конце семестра, в которых студенты дают оценки препо-давателям по числовой шкале. В некоторых школах такие результаты часто вывешиваются на доске объявлений и используются в процессе выбора курса обучения. Многие преподаватели подвергают сомнению такие опросы на том основании, что, хотя все преподаватели чем-то отличаются, эти отличия редко имеют какое-то значение. Однако студенты склонны воспринимать изменчивость оценок как реальное отражение педагогических способностей преподавателей, а не как разброс из-за случайного влияния.

Один из способов прояснить ситуацию с оценкой работы преподавателей – проверить из-менения оценок с течением времени. В рабочей книге Препод.xls (Teach.xls) приводятся данные об оценках работы одного преподавателя основ экономики в одном университете в течение 20 пос-ледовательных семестров. Курс обучения в данном примере является процессом, поскольку препо-даватель использует одинаковые методы обучения и излагает один и тот же материал в течение всего исследуемого периода. В конце каждого из 20 семестров записывалось пять оценок, которые образовывали подгруппу оценок. Значения оценки варьировались от 0 (ужасно) до 100 (пре-восходно). В табл. 2 приводятся переменные из рабочей книги Препод.xls (Teach.xls) и их краткое описание.

Таблица 2. Переменные из рабочей книги Препод.xls (Teach.xls)

Имя диапазона	Диапазон	Описание
Семестр (Semester) Оценка 1 (Score 1) Оценка 2 (Score 2) Оценка 3 (Score 3) Оценка 4 (Score 4) Оценка 5 (Score 5)	A2: A21 B2: B21 C2: C21 D2: D21 E2: E21 F2: F21	Номер оцениваемого семестра Оценка первого студента Оценка второго студента Оценка третьего студента Оценка четвертого студента Оценка пятого студента

Чтобы открыть рабочую книгу Препод.xls (Teach.xls), выполните перечисленные ниже дей-ствия:

· найдите и откройте рабочую книгу Препод.xls (Teach.xls), которая находится в каталоге Примеры (Student);

· выберите команду Файл → Сохранить как и сохраните рабочую книгу в файле Препод2.xls (Teach2.xls).

После этого рабочая книга будет выглядеть так, как на рис. 13.

Рисунок 13. Рабочая книга Препод2.xls (Teach2.xls)

В этих данных очевиден разброс оценок для разных семестров от 54 до 100. Без более глубокого анализа этих данных можно подумать, что педагогические способности преподавателя изменялись в течение 20 семестров в очень широких пределах. Верна ли такая интерпретация?

Если предположить, что обучение – это процесс, а оценки студентов – значения процесса, то для определения управляемости процесса можно применить СУП. Иначе говоря, методы СУП можно использовать для определения причины изменчивости оценок, например из-за изменения качества обучения на каком-то отдельном курсе (по особым причинам) или из-за случайных оши-бок (по общим причинам).

Исторические данные из разных источников показывают, что для данного преподавателя

σ = 5,0 и n = 5, поскольку в каждой подгруппе находится пять оценок. Попробуем использо-вать модуль StatPlus для вычисления средних оценок в каждом семестре, а затем вычислить сред-нее для средних всех подгрупп за 20 семестров.

Для создания контрольной диаграммы оценок выполните перечисленные ниже действия:

· выберите команду меню StatPlus → QC Charts → Xbar Chart (StatPlus →

Диаграммы качества → Диаграмма х-штрих);

· в диалоговом окне Create an XBAR Control Chart (Создать диаграмму х-штрих) выберите переключатель Subgroups in rows across columns (Подгруппы в

строках столбцов);

· щелкните на кнопке Data Values. В диалоговом окне Input Options выберите переключатель Use Range Names и выберите все элементы от Оценка_1

(Score_1) до Оценка_5 (Score_5). Щелкните на кнопке ОК;

· установите флажок Sigma known (Известное значение сигма) и введите

значение 5 в поле справа;

· щелкните на кнопке Output и в диалоговом окне Chart Output Options выберите переключатель As a new chart sheet, затем введите заголовок Диаграмма

х-штрих (XBar Chart) в текстовом поле справа. Щелкните на кнопке ОК.

На рис. 14 показан окончательный вид диалогового окна Create an XBAR Control Chart.

Рисунок 14. Диалоговое окно Create an XBAR Control Chart

В диалоговом окне Create an XBAR Control Chart щелкните на кнопке ОК для получения результатов, которые показаны на рис. 15.

Рисунок 15. Контрольная диаграмма оценок

Как показано на рис. 15, ни одна из средних оценок подгруппы не выходит за контрольные границы. Нижняя контрольная граница равна 77.46, среднее для всех средних подгрупп – 84.17, а верхняя контрольная граница – 90.88. На этой диаграмме нельзя заметить ни тренда, ни какой-либо закономерности. Поэтому можно сделать вывод о том, что учебный процесс является уп-равляемым.

Как видите, процесс управляем, несмотря на возможные возражения со стороны студентов при первом взгляде на данные на рис. 13. Поэтому нет основания считать, что педагогические спо-собности преподавателя лучше или хуже в разных семестрах. Три последние низкие оценки выг-лядят немного подозрительно. Студенты могут заявить, что использование исторической величи-ны для стандартного отклонения также выглядит неубедительно, поскольку меньшее значение стандартного отклонения может привести к тому, что некоторые оценки будут неуправляемыми. Упражнения в конце данной методички содержат несколько примеров исследования контрольной диаграммы с неизвестным значением стандартного отклонения.

Здесь следует отметить такую особенность: поскольку оценки даже одного преподавателя существенно колеблются с точки зрения студентов, различия между разными преподавателями также могут оказаться обманчивыми. Поэтому результаты статистического анализа следует ис-пользовать крайне осторожно.

Завершив работу с книгой Препод2.xls (Teach2.xls), закройте ее и сохраните полученные ре-зультаты.